Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4 cm ，BC=3 cm，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓.

（1）求⊙O的半徑；

（2）點P從點B沿邊BA向點A以點1cm/s 的速度勻速運動，以點P為圓心，PB長為半徑作圓.設點P運動的時間為 t s.若⊙P與⊙O相切，求t的值.

 

 

Answer 1

（1）1 cm；（2）或2.

【解析】

試題分析：（1）設⊙O與AB，BC，CA的切點分別為D，E，F(xiàn)，連接OD，OE，OF，根據(jù)切線的性質(zhì)證明四邊形CEOF是正方形，由勾股定理求AB的長，把AD，BD用半徑r的代數(shù)式表示，從而根據(jù)列方程求解即可.

（2）為⊙P與⊙O外切和⊙P與⊙O內(nèi)切兩種情況討論即可.

試題解析：（1）如圖，設⊙O與AB，BC，CA的切點分別為D，E，F(xiàn)，連接OD，OE，OF，

則AD=AF，BD=BE，CE=CF.

∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°.

又∵∠C=90°，∴四邊形CEOF是矩形.

又∵OE=OF，∴四邊形CEOF是正方形.

設⊙O的半徑為r cm，則FC=EC=OE= r cm，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4 cm ，BC=3 cm，∴.

∵，

∴，解得r=1.

∴⊙O的半徑為1 cm.

（2）如圖，過點P作PG⊥BC于點G，

∵∠PGB=∠C=90°，∴PG∥AC.∴△PBG∽△ABC.∴.

又∵BP=t，∴.

若⊙P與⊙O相切，，則可分為⊙P與⊙O外切和⊙P與⊙O內(nèi)切兩種情況：

①如圖，當⊙P與⊙O外切時，連接OP，則OP=1+t.

過點P作PH⊥OE于點H，

∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°，∴四邊形PHEG是矩形.∴HE=PG，PH=GE.

∴.

在Rt△OPH中，由勾股定理，得，解得.

②如圖，當⊙P與⊙O內(nèi)切時，連接OP，則OP=.

過點O作OM⊥PG于點M，

∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°，∴四邊形OEGM是矩形.∴MG=OE，OM=EG.

∴.

在Rt△OPM中，由勾股定理，得，解得.

綜上所述，當⊙P與⊙O相切時，或2.

考點：1.單動點和面動問題；2.直線與圓相切的性質(zhì)；3.矩形、正方形的判定和性質(zhì)；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性質(zhì)；6.方程思想和分類思想的應用.