Question

【題目】已知等邊△ABC中，在射線BA上有一點(diǎn)D，連接CD，并以CD為邊向上作等邊△CDE，連接BE和AE.試判斷下列結(jié)論：①AE=BD； ②AE與AB所夾銳夾角為60°；③當(dāng)D在線段AB或BA延長線上時，總有∠BDE-∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°時，CE2+AD2=AC2+DE2 .正確的序號有（ ）

A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

由∠BCD=∠ACD+60°，∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE，利用SAS可證明△BCD≌△ACE，可得AE=BD，①正確；∠CBD=∠CAE=60°，進(jìn)而可得∠EAD=60°，②正確，當(dāng)∠BCD=90°時，可得∠ACD=∠ADC=30°，可得AD=AC，即可得CE2+AD2=AC2+DE2 ，④正確；當(dāng)D點(diǎn)在BA延長線上時，∠BDE-∠BDC=60°，根據(jù)△BCD≌△ACE可得∠AEC=∠BDC，進(jìn)而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，即可證明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED，即∠BDE-∠AED=2∠BDC，當(dāng)點(diǎn)D在AB上時可證明∠BDE-∠AED=120°，③錯誤，綜上即可得答案.

∵∠BCA=∠DCE=60°，

∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

又∵AC=BC，CE=CD，

∴△BCD≌△ACE，

∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正確，

∴∠BAE=120°，

∴∠EAD=60°，②正確，

∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，

∴∠ACD=∠ADC=30°，

∴AC=AD，

∵CE=DE，

∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正確，

當(dāng)D點(diǎn)在BA延長線上時，∠BDE-∠BDC=60°，

∵∠AEC=∠BDC，

∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，

∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED

∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，

如圖，當(dāng)點(diǎn)D在AB上時，

∵△BCD≌△∠ACE，

∴∠CAE=∠CBD=60°，

∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°，

∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°，③錯誤

故正確的結(jié)論有①②④，

故選C.