Question

拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C；
（1）Q（2，k）是該拋物線上一點，且AQ⊥BQ，則ak的值為______．
（2）若點A（-1，0），B（3，0）C（0，3）．
①求拋物線的解析式；
②點M在x軸上方拋物線上，點N在y軸負半軸上，且四邊形ACMN是等腰梯形，求點M的坐標．

Answer 1

解：（1）如圖，過Q點作QE⊥AB于E．假設(shè)點A（x₁，0）、點B（x₂，0），
∵AQ⊥BQ，EQ⊥AB，
∴Rt△AEQ∽Rt△QEB，
∴EQ²=AE•BE，
又∵AE•BE=（2-x₁）（x₂-2）=-x₁x₂+2（x₁+x₂）-4=-4，CQ=|k|，
∴k²=-4，
∴-ak²=4a+2b+c，
∵點Q是拋物線上一點，
∴4a+2b+c=k．
∴-ak²=k，
即ak=-1．
故答案為：-1．

（2）①，
解得：，
∴y=-x²+2x+3；
②連接AM交y軸于P，由等腰梯形的對稱性得AP=CP，
設(shè)OP=m，則1+m²=（3-m）²，
解得：，
則點P坐標為（0，）
設(shè)直線AM的解析式為y=px+q，則，
解得，
∴直線AM的解析式為，
解方程組，
得或（舍）
∴點M（，）．
分析：（1）首先過Q點作QE⊥AB于E．結(jié)合AQ⊥BQ，不難證得Rt△AEQ∽Rt△AQB，進而得到EQ²=AE•BE．分別用A、B、Q點的橫坐標表示AE•BE=（2-x₁）（x₂-2）=-x₁x₂+2（x₁+x₂）-4．由于A、B兩點是拋物線y=ax²+bx+c與x軸的交點，利用根與系數(shù)的關(guān)系，不難得到x₁+x₂=，x₁x₂=．根據(jù)已知Q（2，k）是該拋物線上一點，可得到4a+2b+c=k．將x₁•x₂ 、x₁+x₂代入AE•BE的代數(shù)式結(jié)合4a+2b+c=k即可求得ak的值．
（2）①由于用A、B、C三點在拋物線y=ax²+bx+c上，將三點的坐標值代入聯(lián)立組成方程組可解得a、b、c的值．則拋物線的解析式即可確定．
②連接AM交y軸于P，由等腰梯形的對稱性得AP=CP．因而利用勾股定理可求得P點的坐標值，那么A、P兩點的坐標可求得直線AP的解析式．M點為直線AP與拋物線的交點，聯(lián)立組成方程組即可解得M點的坐標．
點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法、等腰梯形的對稱性、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點．主要考查學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．