【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別與BC,AC交于點D,E,過點D作DF⊥AC,垂足為點F.
(1)求證:直線DF是⊙O的切線;
(2)求證:BC2=4CFAC;
(3)若⊙O的半徑為2,∠CDF=15°,求陰影部分的面積.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)4π﹣3
【解析】
(1)如圖所示,連接OD,證明∠CDF+∠ODB=90°,即可求解;
(2)證明△CFD∽△CDA,則CD2=CFAC,即BC2=4CFAC;
(3)S陰影部分=S扇形OAE﹣S△OAE即可求解.
解:(1)如圖所示,連接OD,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∵OB=OD,
∴∠ODB=∠ABC=∠C,
∵DF⊥AC,
∴∠CDF+∠C=90°,
∴∠CDF+∠ODB=90°,
∴∠ODF=90°,
∴直線DF是⊙O的切線;
(2)連接AD,則AD⊥BC,則AB=AC,
則DB=DC=BC,
∵∠CDF+∠C=90°,∠C+∠DAC=90°,
∴∠CDF=∠DAC,
∵∠DFC=∠ADC=90°,
∴△CFD∽△CDA,
∴CD2=CFAC,即BC2=4CFAC;
(3)連接OE,
∵∠CDF=15°,∠C=75°,
∴∠OAE=30°=∠OEA,
∴∠AOE=120°,
S△OAE=AE×OEsin∠OEA=×2×2×cos30°×2×sin30°=3,
S陰影部分=S扇形OAE﹣S△OAE=×π×(2)2﹣3=4π﹣3.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,某數(shù)學(xué)活動小組選定測量小河對岸大樹BC的高度,他們在斜坡上D處測得大樹頂端B的仰角是30°,朝大樹方向下坡走6米到達(dá)坡底A處,在A處測得大樹頂端B的仰角是45°,若坡角∠FAE=30°,求大樹的高度(結(jié)果保留根號).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點H,過CD的延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于點F,切點為點G,連接AG交CD于點K.
(1)求證:△EKG是等腰三角形;
(2)若KG2=KDGE,求證:AC∥EF;
(3)在(2)的條件下,若tanE=,AK=2,求FG的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)活動課上,小明和小紅要測量小河對岸大樹BC的高度,小紅在點A測得大樹頂端B的仰角為45°,小明從A點出發(fā)沿斜坡走3米到達(dá)斜坡上點D,在此處測得樹頂端點B的仰角為31°,且斜坡AF的坡比為1:2.
(1)求小明從點A到點D的過程中,他上升的高度;
(2)依據(jù)他們測量的數(shù)據(jù)能否求出大樹BC的高度?若能,請計算;若不能,請說明理由.(參考數(shù)據(jù):sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AC=BC,∠ACB=120°,P為△ABC內(nèi)部一點,且滿足∠APB=∠BPC=150°.
(1)求證:△PAB∽△PBC;
(2)求證:PA=3PC;
(3)若AB=10,求PA的長.
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【題目】某運輸公司現(xiàn)將一批152噸的貨物運往A,B兩地,若用大小貨車15輛,則恰好能一次性運完這批貨.已知這兩種大小貨車的載貨能力分別為12噸/輛和8噸/輛,其運往A,B兩地的運費如下表所示:
目的地(車型) | A地(元/輛) | B地(元/輛) |
大貨車 | 800 | 900 |
小貨車 | 400 | 600 |
(1)求這15輛車中大小貨車各多少輛.(用二元一次方程組解答)
(2)現(xiàn)安排其中的10輛貨車前往A地,其余貨車前往B地,設(shè)前往A地的大貨車為x輛,前往A,B兩地總費用為w元,試求w與x的函數(shù)解析式.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為3,延長CB至點M,使S△ABM=,過點B作BN⊥AM,垂足為N,O是對角線AC,BD的交點,連接ON,則ON的長為________.
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【題目】把函數(shù)的圖象繞點旋轉(zhuǎn),得到新函數(shù)的圖象,我們稱是關(guān)于點的相關(guān)函數(shù).的圖象的對稱軸與軸交點坐標(biāo)為.
(1)填空:的值為 (用含的代數(shù)式表示)
(2)若,當(dāng)時,函數(shù)的最大值為,最小值為,且,求的解析式;
(3)當(dāng)時,的圖象與軸相交于兩點(點在點的右側(cè)).與軸相交于點.把線段原點逆時針旋轉(zhuǎn),得到它的對應(yīng)線段,若線與的圖象有公共點,結(jié)合函數(shù)圖象,求的取值范圍.
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【題目】某工廠有甲種原料,乙種原料,現(xiàn)用兩種原料生產(chǎn)處兩種產(chǎn)品共件,已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品需甲種原料,乙種原料,且每件產(chǎn)品可獲得元;生產(chǎn)每件產(chǎn)品甲種原料,乙種原料,且每件產(chǎn)品可獲利潤元,設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品 件(產(chǎn)品件數(shù)為整數(shù)件),根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的方案有哪幾種?
(2)設(shè)生產(chǎn)這件產(chǎn)品可獲利元,寫出關(guān)于的函數(shù)解析式,寫出(1)中利潤最大的方案,并求出最大利潤.
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