Question

【題目】在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4，AB=8，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在邊AB上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合)，連接PD、PC，將△PDC沿直線PD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處得△PDE．

（1）如圖①，若點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合，求線段AP的長(zhǎng)；

（2）如圖②，若ED交AB于點(diǎn)F，四邊形CDEP為菱形，求證：△PFE≌△AFD；

（3）連接AE，設(shè)△PDE與△ABC重疊部分的面積為S1，△PAC的面積為S2，若S1=S2時(shí)，請(qǐng)直接寫出tan∠AED的值．

Answer 1

【答案】（1）AP=5；（2）證明見(jiàn)解析；（3）3或．

【解析】

（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)得AP=PC，設(shè)AP=x，根據(jù)勾股定理列出方程，解出x的值即可；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出PE∥CD，PE=CD，在根據(jù)此條件和D是AC的中點(diǎn)可得出AD=PE，PE∥AC，然后即可推出△PFE≌△AFD；

（3）根據(jù)S1=S2推出AF=PF，EF=DF，然后分兩種情況討論如下圖：①過(guò)D作DM⊥AP于點(diǎn)M，過(guò)C作CN⊥PD于點(diǎn)N；②過(guò)D作DM⊥AP于點(diǎn)M，再分別計(jì)算即可．

（1）∵△PDE由△PDC翻折所得

∴AP=PC，

設(shè)AP=x，

∵∠B=90°，

∴在Rt△PBC中，PC2=PB2+BC2，

即x2=（8-x）2+42，

解得x=5，

∴AP=5；

（2）∵四邊形CDPE為菱形，

∴PE∥CD，PE=CD，

∵D是AC的中點(diǎn)，

∴AD=CD，

∴AD=PE，

∵PE∥CD，

∴PE∥AC，

∴∠APE=∠PAD，∠DEP=∠ADE，

在△PFE與△AFD中，

∴△PFE≌△AFD；

（3）∵D是AC的坐標(biāo)，

∴S△ADP=S△CDP=S△PAC，

由折疊可得：S△PDE=S△CDP，

∴S△PDF=S△PAC=S△ADP=S△PDE，

∴AF=PF，EF=DF，

①如圖，四邊形AEPD是平行四邊形，

過(guò)D作DM⊥AP于點(diǎn)M，過(guò)C作CN⊥PD于點(diǎn)N，

則∠AED=∠EDP=∠PDC，

∵，∠B=90°，BC=4，AB=8，

∴AC=，

∴PC=PE=AD=，

∴PB=，

∴BM=AB=4，DM=BC=2（中位線），

∴PM=BM-PB=2，

∴DP=，

∴DN=，CN=，

∴tan∠AED=tan∠PDC==3，

②如圖，過(guò)D作DM⊥AP于點(diǎn)M

，

∵AP=DE=DC=，

∴PM=-4，

∴tan∠AED=tan∠DPM=，

綜上：tan∠AED的值為3或．