Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+4與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BEC面積最大時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在（2）的結(jié)論下，過點(diǎn)E作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)M，連接AM，點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）E（3，8）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣2，﹣）或（6，0）或（0，4）．

【解析】試題分析：（1）首先根據(jù)直線與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)是 然后根據(jù)拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，求出的值是多少，即可求出拋物線的解析式．
（2）首先過過E作EG∥y軸，交直線BC于G，然后設(shè) 則 求出的值是多少；最后根據(jù)三角形的面積的求法，求出 進(jìn)而判斷出當(dāng)面積最大時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)和面積的最大值各是多少即可．
（3）在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．然后分三種情況討論，根據(jù)平行四邊形的特征，求出使得以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少即可．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，

∴,

當(dāng)時(shí)，

∴

把和代入拋物線中得：

解得： ，

∴拋物線的解析式為：

（2）如圖1，過E作EG∥y軸，交直線BC于G，

設(shè) 則

∵

∴S有最大值，此時(shí)

（3）

對(duì)稱軸是：

∴

在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

如圖2，以AM為邊時(shí)，由（2），可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，

∵點(diǎn)M在直線上，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（3，2），

又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，0），點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2，

根據(jù)M到Q的平移規(guī)律：可知：P的橫坐標(biāo)為﹣2，

∴

②如圖3，以AM為邊時(shí)，四邊形AMPQ是平行四邊形，

由（2），可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2，

∵A（﹣1，0），且Q的橫坐標(biāo)為2，

∴P的橫坐標(biāo)為6，

∴P（6，0）（此時(shí)P與C重合）；

③以AM為對(duì)角線時(shí)，如圖4，

∵M到Q的平移規(guī)律可得P到A的平移規(guī)律

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，4）

綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

點(diǎn)P的坐標(biāo)是或（6，0）或（0，4）．