Question

圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊長為1個單位長度的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形．

（1）直接寫出單位正三角形的高與面積；
（2）圖1中的平行四邊形ABCD含有多少個單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？
（3）求出圖1中線段AC的長（可作輔助線）；
（4）求出圖2中四邊形EFGH的面積．

Answer 1

分析：（1）由正三角形的邊長為1，做底邊上的高h，利用勾股定理可求h=

3

2

，S_△=

3

4

；
（2）把平行四邊形所占的網(wǎng)格中的正三角形數(shù)一下即可，有24個，那么S?=6

3

；
（3）作BC邊上的高AK，垂足為K，據(jù)圖可知，∠B=60°，則∠BAK=30°，由AB=6，利用勾股定理，可求BK=

3

2

，AK=

3

2

3

，CK=

5

2

，利用勾股定理，可求AC=

13

；
（4）如圖，可構(gòu)造平行四邊形，比如以FG為對角線構(gòu)造平行四邊形FPGM，S_FPGM=6S_△，故S_△FGM=3S_{單位正三角形}，同理可得其他部分的面積，于是S_EFGH=（3+4+8+9+8）×

3

4

=8

3

．

解答：解：（1）單位正三角形的高為

3

2

，面積為

3

4

．（1分）

（2）平行四邊形ABCD含有24個單位正三角形．（2分）
其面積為24×

3

4

=6

3

（3分）

（3）過點A作AK⊥BC于K（如圖1）．
在Rt△ACK中，AK=

3

2

3

，KC=

5

2

．
∴AC=

AK2+KC2

=

( 3 2 3 )2+( 5 2 )2

=

13

（4分）

（4）解法一：如圖2所示，將四邊形EFGH分割成五部分．
以FG為對角線構(gòu)造平行四邊形FPGM，
∵平行四邊形FPGM中含有6個單位正三角形，
∴S_△FGM=3S_{單位正三角形}．
同理可得到其他四部分面積．
∴S_{四邊形EFGH}=（3+4+8+9+8）×

3

4

=8

3

（8分）

解法二：如圖3所示，構(gòu)造平行四邊形EQSR．
過點F作FT⊥QG于T，則
S_△FQG=

1

2

FT•QG=

1

2

×

3 3

2

×4=3

3

同理可求S_△GSH=

3

，
S_△EHR=6

3

，S_{平行四邊形EQSR}=18

3

∴S_{四邊形EFGH}=S_{平行四邊形EQSR}-S_△FQG-S_△GSH-S_△EHR
=18

3

-3

3

-

3

-6

3

=8

3

．（8分）

點評：本題利用了正三角形的性質(zhì)，勾股定理，有一個銳角是30°的直角三角形的性質(zhì)，及構(gòu)造平行四邊求圖形面積等知識．