Question

如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是DC邊的中點(diǎn)，E為BC邊上的一點(diǎn)，且EC=

1

4

BC．請(qǐng)猜想AF與EF的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理的逆定理,勾股定理

專題：

分析：設(shè)FC=a，分別計(jì)算AF，EF，AE的值，根據(jù)三角形三邊長(zhǎng)和勾股定理的逆定理可以判定△AEF為直角三角形，即可證明AE⊥EF．

解答：證明：AF⊥EF．
設(shè)EC=a，則DC=DA=AB=BC=4a
所以BE=3a，CF=DF=2a．
由勾股定理得AE=5a，
EF=

5

a，AF=2

5

a，
∵（

5

a）²+（2

5

）²=（5a）²
即EF²+AF²=AE²
∴△AEF為直角三角形，斜邊為AE，
故∠AFE=90°，
即AF⊥EF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了正方形各邊長(zhǎng)相等、各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法，本題中判定△AEF為直角三角形是解題的關(guān)鍵．