Question

如圖，A（-3，2），B（-2，4），C（n，0），D（0，m），若四邊形ABCD的周長最小，求-

m

n

的值．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,坐標與圖形性質(zhì)

專題：

分析：過點B作關(guān)于y軸的對稱點B′，過點A作關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′B′分別交x、y軸于點D、C，由兩點之間線段最短可知線段A′B′即為四邊形ABCD的周長最小值，用待定系數(shù)法求出過A′B′兩點的直線解析式，即可求出C、D的坐標．

解答：解：∵四邊形ABCD周長=AB+BC+CD+AD，AB是定值，
∴求其周長最小值，就是求BD+CD+AC的最小值．
過B作y軸對稱點B′（2，4），
則BD=B′D，
過A作x軸對稱點A′（-3，-2），則AC=A′C，
∴BC+CD+AD=B′C+CD+A′D=A′B′，
此時四邊形的周長最小；
設(shè)直線A′B′的方程是y=kx+b（k≠0），
∴

2k+b=4 -3k+b=-2

，解得

k= 6 5 b= 8 5

，
故過A′B′兩點的一次函數(shù)解析式為y=

6

5

x+

8

5

，
∴C（-

4

3

，0）D（-0，

8

5

），
即n=-

4

3

，m=

8

5

，
∴-

m

n

=-

8 5

- 4 3

=

6

5

．

點評：本題考查的是兩點之間線段最短及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，根據(jù)對稱的性質(zhì)作出A、B的對稱點A′、B′及求出其坐標是解答此題的關(guān)鍵．