Question

如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過(guò)P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D.

（1）當(dāng)∠BQD＝30°時(shí)，求AP的長(zhǎng)；

（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長(zhǎng)；如果變化請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

（1）2 （2）不會(huì)改變，理由見(jiàn)解析

【解析】

【解析】
（1）∵△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，

∴∠ACB＝60°，

∵∠BQD＝30°，

∴∠QPC＝90°，

設(shè)AP＝x，則PC＝6－x，QB＝x，

∴QC＝QB＋BC＝6＋x，

∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，

∴PC＝QC，即6－x＝（6＋x），解得x＝2；

（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變.理由如下：

作QF⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接QE，PF，

又∵PE⊥AB于E，

∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，

∵點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相同，

∴AP＝BQ，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，

∴在△APE和△BQF中，

∵∠A＝∠FBQ，∠AEP＝∠BFQ＝90°，

∴∠APE＝∠BQF，

∴

∴△APE≌△BQF，

∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，

∴四邊形PEQF是平行四邊形，

∴DE＝EF，

∵EB＋AE＝BE＋BF＝AB，

∴DE＝AB，

又∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，

∴DE＝3，

∴當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變.