Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為2的正方形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸正半軸、y軸的負(fù)半軸上，二次函數(shù)y=

2

3

(x-h)2+k的圖象經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．
（1）求該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）結(jié)合函數(shù)的圖象探索：當(dāng)y＞0時(shí)x的取值范圍；
（3）設(shè)m＜

1

2

，且A（m，y₁），B（m+1，y₂）兩點(diǎn)都在該函數(shù)圖象上，試比較y₁、y₂的大小，并簡(jiǎn)要說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,二次函數(shù)與不等式（組）

專題：代數(shù)幾何綜合題,待定系數(shù)法

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性得出h的數(shù)值，再進(jìn)一步代入一點(diǎn)求出k的數(shù)值即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由（1）函數(shù)解析式求出與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)解決問題；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性與點(diǎn)A（m，y₁）對(duì)稱的點(diǎn)為（2-m，y₁），根據(jù)圖形，比較得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，
∴點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（2，-2），（0，-2），
對(duì)稱軸x=h=

0+2

2

=1，
把C（0，-2）代入二次函數(shù)y=

2

3

(x-h)2+k，
解得k=-

8

3

，
∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-

8

3

）；
（2）當(dāng)y=0時(shí)，

2

3

（x-1）²-

8

3

=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴當(dāng)y＞0時(shí)x＜-1或x＞3；
（3）點(diǎn)A（m，y₁）關(guān)于x=1對(duì)稱點(diǎn)為：（2-m，y₁），
∵m＜

1

2

，
∴m+1＜2-m＞
∴y₁＞y₂．

點(diǎn)評(píng)：此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對(duì)稱性以及利用圖象解決問題．