Question

【題目】如圖，∠AOB＝20°，M，N分別是邊OA，OB上的定點(diǎn)，P，Q分別是邊OB，OA上的動(dòng)點(diǎn)，記∠OPM＝α，∠OQN＝β，當(dāng)MP+PQ+QN最小時(shí)，則關(guān)于α，β的數(shù)量關(guān)系正確的是（ ）

A.β﹣α＝30°B.β﹣α＝40°C.β+α＝180°D.β+α＝200°

Answer 1

【答案】D

【解析】

作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，可得MP+PQ+QN最小，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根據(jù)三角形內(nèi)角和及外角性質(zhì)即可得答案.

如圖，作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，

∴NQ=NQ′，PM=PM′，∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，

∴MP+PQ+QN最小，

∵∠OQN＝180°﹣20°﹣∠ONQ，∠OPM＝∠NPQ＝20°+∠OQP，∠OQP＝∠AQN＝20°+∠ONQ，

∴α+β＝180°﹣20°﹣∠ONQ+20°+20°+∠ONQ＝200°．

故選：D．