Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+n的圖象與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A（6，0）和B（0，2

3

），線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D．
（1）試確定這個(gè)一次函數(shù)解析式；
（2）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）請你利用所求拋物線的圖象回答：當(dāng)x取何值時(shí)，拋物線中的部分圖象落在x軸的上方？

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,二次函數(shù)與不等式（組）

專題：

分析：（1）根據(jù)A、B的坐標(biāo)用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式．
（2）本題的關(guān)鍵是求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，可先根據(jù)A、B的坐標(biāo)求出AB的長，即可求出AD的值，然后在直角三角形ACD中根據(jù)∠DAC的余弦值求出AC的長，即可求出OC的長也就能求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）由拋物線的解析式，令y＞0時(shí)，即可得出x的范圍．

解答：解：（1）將點(diǎn)A（6，0）和B（0，2

3

）代入y=kx+n，

6k+n=0 n=2 3

，
解得

k=- 3 3 n=2 3

，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-

1

3

3

x+2

3

；
（2）∵OA=6，OB=2

3

，
∴AB=4

3

，
∵CD為線段AB的垂直平分線，
∴AD=2

3

，
∵tan∠DAC=

OB

OA

=

2 3

6

=

3

3

，
∴∠DAC=30°，
∴cos30°=

AD

AC

，
∴AC=

2 3

3 2

=4，
∴OC=2，
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂），
∵x₁=2，x₂=6；
∴y=a（x-2）（x-6），
把點(diǎn)B（0，2

3

）代入y=a（x-2）（x-6），得
2

3

=a（0-2）（0-6），
解得a=

3

6

，
y=

1

6

3

(x-2)(x-6)；
（3）∵拋物線和x軸交于點(diǎn)A，C，
∴當(dāng)y＞0時(shí)，拋物線的部分圖象落在x軸的上方，
此時(shí)x的取值范圍是x＜2或x＞6．

點(diǎn)評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，注意知識(shí)的綜合應(yīng)用．