【題目】如圖,D為ABC的AB邊上一點(diǎn),E為AC延長線上的一點(diǎn),且CE=BD。
(1)當(dāng)AB=AC時(shí),求證:DE>BC
(2)當(dāng)AB≠AC時(shí),DE與BC有何大小關(guān)系?給出結(jié)論,畫出圖形,并證明。
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】試題分析:
(1)如圖1,過點(diǎn)D作DF∥BC,過點(diǎn)C作CF∥AB,連接EF,從而可得DF=BC,這樣就把分散的線段集中到了△DEF中,只需證DE>DF即可;易證∠1=∠2,∠3=∠4,∠3>∠5,從而可得∠DFE>∠DEF,∴DE>DF,從而得到:DE>BC;
(2)當(dāng)ABAC時(shí),我們要分AB>AC和AB<AC兩種情況來討論,
其中:①當(dāng)AB>AC,且AB=AE時(shí),如圖2,結(jié)合已知條件此時(shí)我們易證△ABC≌△AED,從而得到BC=DE;
②當(dāng)AB>AC,且AB>AE時(shí),如圖3,延長AE到F,使AF=AB,在AB上截取AN=AC,易證△ABC≌△AFN,得到∠F=∠B;再過D作DM∥BC,過C作CM∥BD,得到四邊形DBCM是平行四邊形,由此可得∠DMC=∠B=∠F,DM=BC;連接ME,則法通過在△DME中證∠DEM>∠DME得到DM>DE,從而得到BC>DE;
③當(dāng)AB>AC,且AB<AE時(shí),如圖4,延長AB到F,使AF=AE,在AE上截取AN=AD,連接NF,易證△AFN≌△AED,可得∠F=∠AED,由∠ABC>∠F得到∠ABC>∠AED;再作DM∥BC,CM∥AB,可得四邊形DBCM是平行四邊形,得到DM=BC,∠DMC=∠ABC,就可得∠DMC>∠AED;連接ME,在△DME中通過證∠DME>∠DEM,得到DE>DM,就可得到DE>BC;
④當(dāng)AB<AC<AE時(shí),如圖5,延長AB至F,使AF=AE,在AC上截取AN=AD;過點(diǎn)D作DM∥BC,過點(diǎn)C作CM∥AB,連接ME;同上可證:DE>BC.
試題解析:
(1)作DF∥BC,CF∥BD(如圖1),
得□BCFD,從而∠DFC=∠B,
DF=BC,CF=BD.
又BD=CE,∴CF=CE,
∴∠1=∠2.
∵AB=AC,∴∠ACB=∠B.
而∠DFE=∠DFC+∠1=∠B+∠1
=∠ACB+∠2>∠AED+∠2=∠DEF,
即在△DEF中,∵∠DFE>∠DEF,
∴DE>DF,即DE>BC.
(2)當(dāng)AB≠AC時(shí),DE與BC的大小關(guān)系如下:
當(dāng)AB>AC但AB=AE時(shí),DE=BC;
當(dāng)AB>AC且AB>AE時(shí),DE<BC;
當(dāng)AB>AC但AB<AE時(shí),DE>BC;
當(dāng)AB<AC時(shí),DE>BC.
證明如下:
①當(dāng)AB>AC但AB=AE時(shí)(如圖2),
∵BD=CE,∴AB-BD=AE-CE,即AD=AC.
在△ABC和△AED中,
∵AB=AE,∠A=∠A,AC=AD,
∴△ABC≌△AED(SAS),∴BC=ED;
②當(dāng)AB>AC且AB>AE時(shí),
延長AE到F,使AF=AB,
在AB上截取AN=AC(如圖3),連結(jié)NF.
在△ABC和△AFN中,
∵AB=AF,∠A=∠A,AC=AN,
∴△ABC≌△AFN(SAS),∴∠B=∠F.
∵∠AED>∠F,∴∠AED>∠B.
過D點(diǎn)作DM∥BC,過點(diǎn)C作CM∥AB,連結(jié)EM,
則四邊形DBCM為平行四邊形,∴∠DMC=∠B,CM=BD,DM=BC,
∵BD=CE,∴CM=CE,∴∠CME=∠CEM,
∵∠DMC=∠B<∠AED,∴∠CME+∠DMC<∠AED+∠CEM,
即∠DME<∠DEM,∴DE<DM,∴DE<BC;
③當(dāng)AB>AC但AB<AE時(shí),延長AB到F,使AF=AE,
在AE上截取AN=AD(如圖4),連結(jié)NF,
在△AFN和△AED中,
∵AF=AE,∠A=∠A,AN=AD,
∴△AFN≌△AED(SAS),
∴∠F=∠AED,
∵∠ABC>∠F,
∴∠ABC>∠AED,
過D點(diǎn)作DM∥BC,過點(diǎn)C作CM∥AB,連接EM,
則四邊形DBCM為平行四邊形,
∴∠DMC=∠ABC,CM=BD,
∵BD=CE,
∴CM=CE,
∴∠CME=∠CEM,
∵∠DMC=∠ABC>∠AED,
∴∠DMC+∠CME>∠AED+∠CEM,
即∠DME>∠DEM,
∴ DE>DM,
∴ DE>BC;
④當(dāng)AB<AC時(shí),此時(shí),AB必小于AE,即AB<AE
延長AB到F,使AF=AE,在AE上截取AN=AD(如圖5).
連結(jié)NF.在△AFN和△AED中,
∵AF=AE,∠A=∠,AN=AD,∴△AFN≌△AED(SAS),
∴∠F=∠AED,即∠F=∠4.∵∠ABC>∠F,∴∠ABC>∠AED,
過D作DM∥BC,過點(diǎn)C作CM∥AB,連結(jié)CM,
則四邊形DBCM平行四邊形,∴∠DMC=∠ABC,CM=BD,DM=BC,
∵BD=CE,∴CM=CE,∴∠CME=∠CEM.∵∠DMC=∠ABC>∠AED,
∴∠DMC+∠CDE>∠AED+∠CEM,即∠DME>∠DEM,
∴DE>DM,
∴DE>BC.
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