Question

在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ACB＝30°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求∠CC1A1的度數(shù)；

（2）如圖2，連接AA1，CC1，若△CBC1的面積為16，求△ABA1的面積；

（3）如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，直接寫出線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值．

 

 

Answer 1

(1)60°；（2）；（3）線段EP1長(zhǎng)度的最大值為8，EP1長(zhǎng)度的最小值1．

【解析】

試題分析：（1）由由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=30°，BC=BC1，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠CC1A1的度數(shù)；

（2）由△ABC≌△A1BC1，易證得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△ABA1的面積；

（3）由①當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最��；②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP1最大，即可求得線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值．

（1）如圖1，依題意得：△A1C1B≌△ACB．

∴BC1=BC，∠A1C1B=∠C=30°．

∴∠BC1C=∠C=30°．

∴∠CC1A1=60°；

（2）如圖2，由（1）知：△A1C1B≌△ACB．

∴A1B=AB，BC1=BC，∠A1BC1=∠ABC．

∴∠ABA1=∠CBC1，

∴△A1BA∽△C1BC  

∴

∵S△C1BC＝3，

∴S△A1BA＝；

（3）線段EP1長(zhǎng)度的最大值為8，EP1長(zhǎng)度的最小值1．

解題過程如下：①如圖a，過點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，

∵△ABC為銳角三角形，

∴點(diǎn)D在線段AC上，

在Rt△BCD中，BD=BC×sin30°=6×=3，

當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)，BP與AC垂直的時(shí)候，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最小，最小值為：EP1=BP1-BE=BD-BE=3-2=1；

②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP1最大，最大值為：EP1=BC+BE=6+2=8．

綜上所述，線段EP1長(zhǎng)度的最大值為8，EP1長(zhǎng)度的最小值1．

考點(diǎn)：相似形綜合題．