【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,AB=8cm,D是AB的中點(diǎn).現(xiàn)將△BCD沿BA方向平移1cm,得到△EFG,F(xiàn)G交AC于H,F(xiàn)E交AC于M點(diǎn).

(1)求證:AG=GH;
(2)求四邊形GHME的面積.

【答案】
(1)證明:將△BCD沿BA方向平移得到△EFG,

∴△BCD≌△EFG,F(xiàn)G∥CD,EF∥CB,DG=EB=1,

∵∠ACB=90°,D是AB的中點(diǎn),

∴AD=CD=BD= AB= ×8=4,

∴∠DAC=∠ACD,

∵FG∥CD,

∴∠AFG=∠ACD,

∴∠AHG=∠DAC,

∴AG=GH


(2)解:如圖:過(guò)C作CN⊥AB于N,

∵∠ABC=60°,∠ACB=90°,

∵BC= AB= ×8=4,

∵∠ABC=60°,CD=BD,

∴△BCD為等邊三角形,

∴NB= BD=2,

∴CN= ,

∵DG=1,AD=4,

∴GH=AG=3,

∴FH=1,you

∵∠A=30°,

∴∠A=30°=∠AHG=∠FHM=30°,

∵FE∥CB,∠ACB=90°,

∴MF=

∴HM=

∴S△EFG=S△BCD= ×4×2 =4 ,

S△MFH= × × = ,


【解析】(1)由點(diǎn)D是直角三角形的斜邊AB的中點(diǎn),得到CD=AD=DB,根據(jù)等邊對(duì)等角,得出∠A=∠ACD,由平移得到FG∥CD,則可得∠AHG=∠ACD,即可得∠AHG=∠A,等角對(duì)等邊得到AG=GH;(2)四邊形GHME是由直角三角形AME減去等腰三角形AGH得到的。

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