Question

如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，點G是BC邊上的任意一點（不同于端點B、C），連接AG，過B、D兩點作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分別為E、F．
（1）求證：△ABE≌△DAF；
（2）若△ADF的面積為

1

8

，試求|BE-DF|的值．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可以證得DA=AB，再根據(jù)同角的余角相等即可證得∠2=∠3，∠1=∠4，根據(jù)ASA即可證得兩個三角形全等；

（2）在Rt△ADF中，利用勾股定理和三角形的面積，變形為完全平方公式解決問題．

解答：（1）證明：如圖，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴DA=AB，∠1+∠2=90°
又∵BE⊥AG，DF⊥AG
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°
∴∠2=∠3，∠1=∠4
在△ADF和△BAE中

∠1=∠4 AD=AB ∠2=∠3

∴△ADF≌△BAE（ASA）．

（2）∵△ADF≌△BAE．
∴AF=BE
在Rt△ADF中，
DF²+AF²=AD²

1

2

DF×AF=

1

8

，
即2DF×AF=

1

2

∴DF²+AF²-2DF•AF=1-

1

2

（DF-AF）²=

1

2

|DF-AF|=

2

2

∵AF=BE
∴|DF-BE|=

2

2

即|BE-DF|=

2

2

．

點評：此題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積計算公式，以及完全平方公式的運用，靈活運用已知條件解決問題．