Question

如圖，PB、PC分別切⊙O于B、C，DE是圓的直徑．
（1）若tanD=

1

2

，DE=12，求PB的長．
（2）過點D作DF⊥PB于F，探索DF、DE、DB之間的關系；
（3）過點B作BG⊥DE于G，探索BE與FG之間的關系．

Answer 1

考點：切線的性質

專題：證明題

分析：（1）連結OB，作BG⊥DE于G，如圖，根據(jù)圓周角定理由DE是圓的直徑得到∠DBE=90°，在Rt△BDE中，利用正切的定義得到DB=2BE，根據(jù)勾股定理可計算出BE=

12 5

5

，則DB=

24 5

5

，接著利用面積法計算出BG=

24

5

；則在Rt△OBG中利用勾股定理可計算出OG=

18

5

，然后證明△OBG∽△OPB，利用相似比計算出OP=10，最后在Rt△OPB中再根據(jù)勾股定理可計算出PB；
（2）證明△DFG∽Rt△DBE，利用相似比可得到BD²=DF•DE；
（3）先證明△DFB≌△DGB得到DF=DG，加上BD平分∠FDG，則可根據(jù)等腰三角形的性質得到BD⊥FG，然后根據(jù)平行線的判定即可得到BE∥FG．

解答：解：（1）連結OB，作BG⊥DE于G，如圖，
∵DE是圓的直徑，
∴∠DBE=90°，
在Rt△BDE中，∵tan∠BDE=

BE

DB

=

1

2

，
∴DB=2BE，
∵BE²+DB²=DE²，
∴BE²+4BE²=12²，解得BE=

12 5

5

，
∴DB=

24 5

5

，
∵

1

2

BG•DE=

1

2

DB•BE，
∴BG=

24

5

，
在Rt△OBG中，OG=

OB2-BG2

=

18

5

，
∵∠BOG=∠POB，
∴△OBG∽△OPB，
∴OB：OP=OG：OB，即6：OP=

18

5

：6，
∴OP=10，
在Rt△OPB中，∵OB=6，OP=10，
∴PB=

OP2-OB2

=8；
（2）∵DF⊥PB，OB∥PB，
∴OB∥DF，
∴∠FDB=∠OBD，
而OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠FDB=∠ODB，
∴Rt△DFG∽Rt△DBE，
∴DF：BD=BD：DE，
∴BD²=DF•DE；
（3）在△DFB和△DGB中，

∠DFB=∠DGB ∠FDB=∠GDB DB=DB

，
∴△DFB≌△DGB（AAS），
∴DF=DG，
∵BD平分∠FDG，
∴BD⊥FG，
∵BD⊥BE，
∴BE∥FG．

點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了相似三角形的判定與性質．