【題目】如圖1,四邊形ABCD內接于⊙O,AC為⊙O的直徑,AC與BD交于點E,且AE=AB.
(1)DA=DB,求證:AB=CB;
(2)如圖2,△ABC繞點C逆時針旋轉30°得到△FGC,點A經過的路徑為,若AC=4,求圖中陰影部分面積S;
(3)在(2)的條件下,連接FB,求證:FB為⊙O的切線.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)證明見解析.
【解析】
(1)欲證明AB=BC,只要證明∠BAC=∠ACB即可;
(2)設AB的延長線交FG于M,連接CM,在BC上取一點N,使得CN=NM.證明Rt△CBM≌Rt△CGM,可得∠NCM=∠NMC=15°,從而∠MNB=30°,設BM=a,則MN=CN=2a,BN=a,由2a+a=2,可求出BM的長,然后根據三角形面積公式計算即可;
(3)連接OB、BF、作FH⊥AC于H.只要證明四邊形OBFH是矩形即可解決問題;
(1)證明:如圖1中,
∵DA=DB,
∴∠DAB=∠DBA,
∵AE=AB,
∴∠AEB=∠ABE,
∴∠AEB=∠DAB,
∴∠EAD+∠ADE=∠EAD+∠EAB,
∴∠EAB=∠ADE,
∵∠ADE=∠ACB,
∴∠EAB=∠ACB,
∴AB=BC.
(2)如圖2中,設AB的延長線交FG于M,連接CM,在BC上取一點N,使得CN=NM.
∵△ABC是等腰直角三角形,AC=4,
∴AB=BC=2,
∵BC=CG,CM=CM,
∴Rt△CBM≌Rt△CGM,
∴∠MCB=∠MCG=15°,
∵NC=NM,
∴∠NCM=∠NMC=15°,
∴∠MNB=30°,設BM=a,則MN=CN=2a,BN=a,
∴2a+a=2,
∴a=4﹣2,
∴S陰=2××BM×BC=(4﹣2)×=16﹣8.
(3)如圖2﹣1中,連接OB、BF、作FH⊥AC于H.
∵∠ACF=30°,∠FHC=90°,
∴FH=CF=AC=OA=OB,
∵BA=BC,OA=OC,
∴BO⊥AC,
∴FH∥OB,
∴四邊形OBFH是平行四邊形,
∵∠BOH=90°,
∴四邊形OBFH是矩形,
∴∠OBF=90°,即OB⊥BF;
∴BF是⊙O的切線.
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【題目】如圖,矩形ABCD在平面直角坐標系的位置如圖,A(0,0),B(6,0),D(0,4)
(1) 根據圖形直接寫出點C的坐標;
(2) 已知直線m經過點P(0,6)且把矩形ABCD分成面積相等的兩部分,請只用直尺準確地畫出直線m,并求該直線m的解析式.
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【題目】我市從 2018 年 1 月 1 日開始,禁止燃油助力車上路,于是電動自 行車的市場需求量日漸增多.某商店計劃最多投入 8 萬元購進 A、B 兩種型號的 電動自行車共 30 輛,其中每輛 B 型電動自行車比每輛 A 型電動自行車多 500 元.用 5 萬元購進的 A 型電動自行車與用 6 萬元購進的 B 型電動自行車數量一 樣.
(1)求 A、B 兩種型號電動自行車的進貨單價;
(2)若 A 型電動自行車每輛售價為 2800 元,B 型電動自行車每輛售價為 3500 元,設該商店計劃購進 A 型電動自行車 m 輛,兩種型號的電動自行車全部銷售 后可獲利潤 y 元.寫出 y 與 m 之間的函數關系式;
(3)該商店如何進貨才能獲得最大利潤?此時最大利潤是多少元?
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【題目】圖1,是一個長為,寬為的長方形,沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形,然后按圖2的形狀拼成一個正方形.
(1)圖2中的陰影部分的面積為 ;
(2)觀察圖2,三個代數式,,之間的等量關系是 ;
(3)若,,求;
(4)觀察圖3,你能得到怎樣的代數恒等式呢?
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【題目】【本小題滿分9分】某校組織了一次初三科技小制作比賽,有A、B、C、D四個班共提供了100件參賽作品.C班提供的參賽作品的獲獎率為50%,其他幾個班的參賽作品情況及獲獎情況繪制在下列圖①和圖②兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖中.
(1)B班參賽作品有多少件?
(2)請你將圖②的統(tǒng)計圖補充完整;
(3)通過計算說明,哪個班的獲獎率高?
(4)將寫有A、B、C、D四個字母的完全相同的卡片放人箱中,從中一次隨機抽出兩張卡片,求抽到A、B兩班的概率.
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【題目】如圖,拋物線y=(x+m)2+m與直線y=x相交于E,C兩點(點E在點C的左邊),拋物線與x軸交
于A,B兩點(點A在點B的左邊).△ABC的外接圓⊙H與直線y=-x相交于點D.
⑴ 若拋物線與y軸交點坐標為(0,2),求m的值;
⑵ 求證:⊙H與直線y=1相切;
⑶ 若DE=2EC,求⊙H的半徑.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A,B的坐標分別為A(0,a),B(b,a),且a、b滿足(a﹣2)2+|b﹣4|=0,現(xiàn)同時將點A,B分別向下平移2個單位,再向左平移1個單位,分別得到點A,B的對應點C,D,連接AC,BD,AB.
(1)求點C,D的坐標及四邊形ABDC的面積S四邊形ABCD;
(2)在y軸上是否存在一點M,連接MC,MD,使S△MCD=S四邊形ABDC?若存在這樣一點,求出點M的坐標,若不存在,試說明理由;
(3)點P是直線BD上的一個動點,連接PA,PO,當點P在BD上移動時(不與B,D重合),直接寫出∠BAP、∠DOP、∠APO之間滿足的數量關系.
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