Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)為C（1，-2）．
（1）求此函數(shù)的關(guān)系式；
（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D，順次連接A，C，B，D．若在拋物線上存在點(diǎn)E，使直線PE將四邊形ABCD分成面積相等的兩個(gè)四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得△PEF是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及△PEF的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將頂點(diǎn)坐標(biāo)C（1，-2）代入y=x²+bx+c即可求得此二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）先求出直線PM的解析式，然后與二次函數(shù)聯(lián)立即可解得點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)先求出GP=GF，求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得△PEF的面積．
解答：解：（1）∵y=x²+bx+c的頂點(diǎn)為（1，-2）．
∴y=（x-1）²-2，y=x²-2x-1；

（2）設(shè)直線PE對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，根據(jù)A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
可以得出AC=CB，AD=BD，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D，
故AC=BC=AD=BD，
則四邊形ACBD是菱形，
故直線PE必過菱形ACBD的對(duì)稱中心M．            
由P（0，-1），M（1，0），
得
從而得y=x-1，
設(shè)E（x，x-1）代入y=x²-2x-1得x-1=x²-2x-1，
解得x₁=0，x₂=3，
根據(jù)題意得點(diǎn)E（3，2）；

（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)F，可設(shè)F（x，x²-2x-1），
過點(diǎn)F做FG⊥y軸，垂足為G點(diǎn)．
在Rt△POM和Rt△FGP中，
∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，
∠OMP=∠FPG，
又∠MOP=∠PGF，
∴△POM∽△FGP
∴
∵OM=1，OP=1，
∴GP=GF，即-1-（x²-2x-1）=x，
解得x₁=0，x₂=1，
根據(jù)題意得F（1，-2）
以上各步均可逆，故點(diǎn)F（1，-2）即為所求，
S_△PEF=S_△MFP+S_△MFE=2×1×2×2=3．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法及三角形的相似等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練．