【題目】如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,直角∠MPN的頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合,直角邊PM,PN分別與OA,OB重合,然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MPN,旋轉(zhuǎn)角為θ(0°<θ<90°),PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn),連接EF交OB于點(diǎn)G,則下列結(jié)論中正確的是_____.
(1)EF=OE;(2)S四邊形OEBF:S正方形ABCD=1:4;(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí),AE=;(4)OGBD=AE2+CF2.
【答案】(1)(2)(4)
【解析】
(1)由四邊形ABCD是正方形,直角∠MPN,易證得△BOE≌△COF(ASA),則可證得結(jié)論;(2)由(1)易證得S四邊形OEBF=S△BOC=S正方形ABCD,則可證得結(jié)論; (3)首先設(shè)AE=x,則BE=CF=1﹣x,BF=x,繼而表示出△BEF與△COF的面積之和,然后利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題,求得答案;(4)易證得△OEG∽△OBE,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,證得OGOB=OE2,再利用OB與BD的關(guān)系,OE與EF的關(guān)系,即可證得結(jié)論.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°,
∴∠BOF+∠COF=90°,
∵∠EOF=90°,
∴∠BOF+∠COE=90°,
∴∠BOE=∠COF,
在△BOE和△COF中,
,
∴△BOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,BE=CF,
∴EF=OE;故(1)正確;
∵S四邊形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD,
∴S四邊形OEBF:S正方形ABCD=1:4;故(2)正確;
過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC,
∵BC=1,
∴OH=BC=,
設(shè)AE=x,則BE=CF=1-x,BF=x,
∴S△BEF+S△COF=BEBF+CFOH=x(1-x)+(1-x)×=-(x-)2+,
∵a=-<0,
∴當(dāng)x=時(shí),S△BEF+S△COF最大;
即在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí),AE=;故(3)錯(cuò)誤;
∵∠EOG=∠BOE,∠OEG=∠OBE=45°,
∴△OEG∽△OBE,
∴OE:OB=OG:OE,
∴OGOB=OE2,
∵OB=BD,OE=EF,
∴OGBD=EF2,
∵在△BEF中,EF2=BE2+BF2,
∴EF2=AE2+CF2,
∴OGBD=AE2+CF2.故(4)正確,
綜上所述:(1)(2)(4)正確,
故答案為:(1)(2)(4)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在一面與地面垂直的圍墻的同側(cè)有一根高10米的旗桿AB和一根高度未知的電線桿CD,它們都與地面垂直,為了測(cè)得電線桿的高度,一個(gè)小組的同學(xué)進(jìn)行了如下測(cè)量:某一時(shí)刻,在太陽(yáng)光照射下,旗桿落在圍墻上的影子EF的長(zhǎng)度為2米,落在地面上的影子BF的長(zhǎng)為10米,而電線桿落在圍墻上的影子GH的長(zhǎng)度為3米,落在地面上的影子DH的長(zhǎng)為5米,依據(jù)這些數(shù)據(jù),該小組的同學(xué)計(jì)算出了電線桿的高度.
(1)該小組的同學(xué)在這里利用的是 投影的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算的;
(2)試計(jì)算出電線桿的高度,并寫出計(jì)算的過(guò)程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在南北方向的海岸線MN上,有A、B兩艘巡邏船,現(xiàn)均收到故障船C的求救信號(hào).已知A、B兩船相距100(+1)海里,船C在船A的北偏東60°方向上,船C在船B的東南方向上,MN上有一觀測(cè)點(diǎn)D,測(cè)得船C正好在觀測(cè)點(diǎn)D的南偏東75°方向上.
(1)分別求出A與C,A與D間的距離AC和AD(如果運(yùn)算結(jié)果有根號(hào),請(qǐng)保留根號(hào)).
(2)已知距離觀測(cè)點(diǎn)D處100海里范圍內(nèi)有暗礁,若巡邏船A沿直線AC去營(yíng)救船C,在去營(yíng)救的途中有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)?(參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于點(diǎn)A(2,1),B(-1,n)兩點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求一次例函數(shù)的解析式;
(3)求△AOB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,四邊形各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,.
畫出平面直角坐標(biāo)系,并畫四邊形.
試確定圖中四邊形的面積.
如果將四邊形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),試確定旋轉(zhuǎn)后四邊形上各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).
如果,你能重新建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,橫坐標(biāo)乘以得的圖形與原圖形重合嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知∠AOB,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),且∠ACD=∠AOB.
(1)尺規(guī)作圖:作∠AOB的平分線OE,交CD于點(diǎn)E.(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)在(1)所作圖形中,若∠AOB=30°,OC=4,求△OCE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知是的直徑,是的弦,弦于點(diǎn),交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),.
求證:是的切線;
當(dāng)點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動(dòng)時(shí),其他條件不變,若.求證:點(diǎn)是的中點(diǎn);
在滿足的條件下,,,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)B(3,0).
(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)如圖2,該拋物線與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為F,點(diǎn)D(2,3)在該拋物線上.
①求四邊形ACFD的面積;
②點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合),過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交該拋物線于點(diǎn)Q,連接AQ、DQ,當(dāng)△AQD是直角三角形時(shí),求出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形紙片ABCD,P為正方形AD邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,點(diǎn)D重合),將正方形紙片折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)P處,點(diǎn)C落在點(diǎn)G處,PG交DC于點(diǎn)H,折痕為EF,連接BP,BH.BH交EF于點(diǎn)M,連接PM.下列結(jié)論:①BE=PE;②EF=BP;③PB平分∠APG;④MH=MF;⑤BP=BM,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( 。
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
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