Question

已知 關(guān)于x的方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0．
（1）判斷方程的實(shí)數(shù)根的情況；
（2）當(dāng)Rt△ABC的斜邊長(zhǎng)a=5，且兩條直角邊b和c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根時(shí)，求：k的值及△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：（1）先計(jì)算判別式的值得到△=1，則根據(jù)判別式的意義可判斷方程的有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得b+c=2k+3，bc=k²+3k+2，再根據(jù)勾股定理得（b+c）²-2bc=25，則（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，解得k=-5或k=2，然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可判斷k=2，b+c=7，再求Rt△ABC的周長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）
=1，
∴△＞0，
∴方程的有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）依題意得b+c=2k+3，bc=k²+3k+2，
∵在Rt△ABC中 b²+c²=a²，
∴（b+c）²-2bc=25，
∴（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，
∴k²+3k-10=0
解得k=-5或k=2，
∵k=-5時(shí)，b+c=-7不合題意，舍去；k=2，b+c=7，符合題意，
∴Rt△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．