Question

我們知道，一元二次方程x²=-1沒有實數根，即不存在一個實數的平方等于-1．若我們規(guī)定一個新數“i”，使其滿足i²=-1（即方程x²=-1有一個根為i）．并且進一步規(guī)定：一切實數可以與新數進行四則運算，且原有運算律和運算法則仍然成立，于是有，i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，從而對于任意正整數n，我們可以得到i⁴ⁿ⁺¹=i⁴ⁿ•i=（i⁴）ⁿ•i=i，同理可得i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，i⁴ⁿ=1．那么i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹²+i²⁰¹³+i²⁰¹⁴的值為（　　）

• A、-1
• B、-1-i
• C、-1+i
• D、i

Answer 1

考點：換元法解一元二次方程

專題：新定義

分析：i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，i⁵=i⁴•i=i，i⁶=i⁵•i=-1，從而可得4次一循環(huán)，一個循環(huán)內的和為0，計算即可．

解答：解：由題意得，i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，i⁵=i⁴•i=i，i⁶=i⁵•i=-1，
故可發(fā)現4次一循環(huán)，一個循環(huán)內的和為0，
∵

2014

4

=503…2，
∴i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹³+i²⁰¹⁴=i-1．
故選：C．

點評：本題考查了實數的運算，解答本題的關鍵是計算出前面幾個數的值，發(fā)現規(guī)律，求出一個循環(huán)內的和再計算，有一定難度．