Question

【題目】已知：如圖，矩形ABCD，AB＝2，BC＝4，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，并且A，O，P組成以OP為腰的等腰三角形，那么OP的長(zhǎng)等于___．

Answer 1

【答案】或.

【解析】

由矩形的性質(zhì)和勾股定理得出OA＝OB＝OC＝OD＝，當(dāng)P與B或D重合時(shí)，OP＝OB＝OD＝；當(dāng)AP＝OP時(shí)，作PE⊥OA于E，作DF⊥AC于F，則OE＝OA＝， PE∥DF，得出△OPE∽△ODF，得出＝，求出OF＝，

代入比例式得出OP＝即可．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝2，∠ABC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，

∴AC＝ ，

∴OA＝OB＝OC＝OD＝，

當(dāng)P與B或D重合時(shí)，OP＝OB＝OD＝；

當(dāng)AP＝OP時(shí)，作PE⊥OA于E，作DF⊥AC于F，如圖所示：

則OE＝OA＝，PE∥DF，

∴△OPE∽△ODF，

∴＝，

∵△ADC的面積＝AD×CD＝AC×DF，

∴DF＝ ，

∴OF＝ ，

∴ ，

解得：OP＝ ；

綜上所述，A，O，P組成以OP為腰的等腰三角形，那么OP的長(zhǎng)等于或；

故答案為：或．