Question

11．通過(guò)學(xué)習(xí)，愛(ài)好思考的小明發(fā)現(xiàn)，一元二次方程的根完全由它的系數(shù)確定，即一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），當(dāng)b²-4ac≥0時(shí)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根：x₁=$\frac{-b+\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$，于是：x₁+x₂=$-\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$、這就是著名的韋達(dá)定理．請(qǐng)你運(yùn)用上述結(jié)論解決下列問(wèn)題：關(guān)于x的一元二次方程x²+kx+k+1=0的兩實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂，且x₁²+x₂²=1，則k的值為-1．

Answer 1

分析 由方程的有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁、x₂可得△=k²-4（k+1）≥0，求得k的范圍，又由x₁+x₂=-k，x₁x₂=k+1及x₁²+x₂²=1可求得k的值．

解答 解：∵x₁，x₂為一元二次方程x²+kx+k+1=0的兩實(shí)數(shù)根，
∴△=k²-4（k+1）≥0，且x₁+x₂=-k，x₁x₂=k+1，
解得：k≤2-2$\sqrt{2}$或k≥2+2$\sqrt{2}$，
又∵x₁²+x₂²=1，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1，
∴（-k）²-2（k+1）=1，即k²-2k-3=0，
解得：k=-1或k=3（舍），
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，熟練掌握根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系的是關(guān)鍵．