Question

【題目】如圖1，點為直線AB上一點，過O點作射線，使，將一直角三角板的直角頂點放在點處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方.

(1)將圖1中的三角板繞點按逆時針方向旋轉至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時三角板旋轉的角度為_______度.

(2)繼續(xù)將圖2中的三角板繞點按逆時針方向旋轉至圖3的位置，使得ON在的內(nèi)部.試探究與之間滿足什么等量關系，并說明理由；

(3)在上述直角三角板從圖1開始繞點O按每秒的速度逆時針旋轉的過程中， 是否存在所在直線平分和中的一個角，ON所在直線平分另一個角？若存在，直接寫出旋轉時間，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）90；（2）∠AOM∠NOC＝30°，理由見解析；（3）存在，2秒或5秒或8秒．

【解析】

（1）根據(jù)旋轉的性質可知，旋轉角為∠MON；
（2）如圖3，利用平角的定義，結合已知條件：∠AOC：∠BOC＝1：2，求得∠AOC＝60°，然后由直角的性質、圖中角與角的數(shù)量關系推知∠AOM∠NOC＝30°；
（3）需要分類討論：當OM平分∠BOC時，旋轉角是60°；當ON平分∠AOC時，旋轉角為240°．

解：（1）根據(jù)旋轉的性質可知：
旋轉角為∠MON＝90°．
故答案為:90．
（2）

如圖3：∠AOM∠NOC＝30°，理由如下：
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，
∠AOC：∠BOC＝1：2，
∴∠AOC＋2∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AON＋∠CON＝60°，①
∵∠MON＝90°，
∴∠AOM＋∠AON＝90°，②
②①，得∠AOM∠CON＝30°．

（3）
如圖4，當OM平分∠BOC時，ON所在直線平分∠AOC，
∠BOM＝60°，
∴三角板繞點O逆時針旋轉60°，
此時t＝60÷30＝2（秒）；
如圖5，當ON平分∠AOC時，OM所在直線平分∠BOC，
∠CON＝30°，
∴三角板繞點O逆時針旋轉240°，
此時t＝240÷30＝8（秒）．
當OM旋轉150度時也符合要求，此時旋轉了5秒．
答：旋轉時間為2秒或5秒或8秒．