【題目】如圖:在△ABC中,CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補(bǔ)角∠ACD,AE⊥CE于E,AF⊥CF于F,直線EF分別交AB、AC于M、N.
(1)求證:四邊形AECF為矩形;
(2)試猜想MN與BC的關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)如果四邊形AECF是菱形,試判斷△ABC的形狀,直接寫出結(jié)果,不用說明理由.
【答案】
(1)證明:∵AE⊥CE于E,AF⊥CF于F,
∴∠AEC=∠AFC=90°,
又∵CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補(bǔ)角∠ACD,
∴∠BCE=∠ACE,∠ACF=∠DCF,
∴∠ACE+∠ACF= (∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF)= ×180°=90°,
∴三個(gè)角為直角的四邊形AECF為矩形
(2)解:結(jié)論:MN∥BC且MN= BC.
證明:∵四邊形AECF為矩形,
∴對(duì)角線相等且互相平分,
∴NE=NC,
∴∠NEC=∠ACE=∠BCE,
∴MN∥BC,
又∵AN=CN(矩形的對(duì)角線相等且互相平分),
∴N是AC的中點(diǎn),
若M不是AB的中點(diǎn),則可在AB取中點(diǎn)M1,連接M1N,
則M1N是△ABC的中位線,MN∥BC,
而MN∥BC,M1即為點(diǎn)M,
所以MN是△ABC的中位線(也可以用平行線等分線段定理,證明AM=BM)
∴MN= BC;
法二:延長(zhǎng)MN至K,使NK=MN,
因?yàn)閷?duì)角線互相平分,
所以AMCK是平行四邊形,KC∥MA,KC=AM因?yàn)镸N∥BC,
所以MBCK是平行四邊形,MK=BC,
所以MN= BC
(3)解:△ABC是直角三角形(∠ACB=90°).
理由:∵四邊形AECF是矩形,
∴AC⊥EF,
∵EF∥AC,
∴AC⊥CB,
∴∠ACB=90°.即△ABC是直角三角形.
【解析】(1)證明三個(gè)角是直角即可解決問題;(2)結(jié)論:MN∥BC且MN= BC.只要證明MN是△ABC的中位線即可;(3)△ABC是直角三角形(∠ACB=90°);
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理和菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握定理1:在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等; 定理2:一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上;菱形的四條邊都相等;菱形的對(duì)角線互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半才能正確解答此題.
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【題目】某小組7位同學(xué)的中考體育測(cè)試成績(jī)(滿分30分)依次為27,30,29,27,30,28,30,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別是( )
A. 30,27 B. 30,29 C. 29,30 D. 30,28
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①求證:矩形DEFG是正方形;
②探究:CE+CG的值是否為定值?若是,請(qǐng)求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,OA=2,AB=6點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上,將平行四邊形ABCO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形ADEF,點(diǎn)D在直線AO上,點(diǎn)F在x軸的正半軸上,則直線DE的表達(dá)式__________________.
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【題目】如圖,已知點(diǎn)E是ABCD中BC邊的中點(diǎn),若∠ABE=∠BAE=60°,BC=4,連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)連接AC,BF,求證:四邊形ABFC為矩形;
(2)求四邊形ABFC的周長(zhǎng)和面積.
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【題目】矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是( 。
A. 對(duì)角線相等 B. 對(duì)角線平分一組對(duì)角 C. 對(duì)角線互相平分 D. 對(duì)角線互相垂直
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