Question

觀察題中每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)間的距離：4與-2，3與5，-2與-6，-4與3，回答問題：
（1）所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值的關(guān)系是

 

；
（2）若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為x，點(diǎn)B表示的數(shù)為-1則A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為

 

；
（3）結(jié)合數(shù)軸可得|x-2|+|x+3|的最小值為

 

；
（4）若關(guān)于x的方程|x-1|+|x+1|+|x-5|=a無解，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)軸,絕對值

專題：

分析：（1）直接借助數(shù)軸可以得出；
（2）點(diǎn)B表示的數(shù)為-1，所以我們可以在數(shù)軸上找到點(diǎn)B所在的位置．那么點(diǎn)A呢？因?yàn)閤可以表示任意有理數(shù)，所以點(diǎn)A可以位于數(shù)軸上的任意位置．那么，如何求出A與B兩點(diǎn)間的距離呢？
結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)行討論．

當(dāng)x＜-1時，距離為-x-1，

當(dāng)-1＜x＜0時，距離為x+1，

當(dāng)x＞0，距離為x+1．綜上，我們得到A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為|x+1|；
（3）|x-2|即x與2的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與2之間的距離．|x+3|=|x-（-3）|即x與-3的差的絕對值，它也可以表示數(shù)軸上x與-3之間的距離． 借助數(shù)軸，我們可以得到正確答案；
（4）分情況討論：①當(dāng)x≥5時，②當(dāng)1≤x＜5時，③當(dāng)-1≤x＜1時，④當(dāng)x＜-1時，分別得出f（x）的取值范圍，進(jìn)而確定f（x）的取值范圍，從而得出a的值．

解答：解：（1）由觀察可知：所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值相等；
（2）結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)行討論．

當(dāng)x＜-1時，距離為-x-1，

當(dāng)-1＜x＜0時，距離為x+1，

當(dāng)x＞0，距離為x+1．綜上，我們得到A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為|x+1|；
（3）當(dāng)x＜-3時，|x-2|+|x+3|=2-x-（3+x）=-2x-1，此時最小值大于5；
當(dāng)-3≤x≤2時，|x-2|+|x+3|=2-x+x+3=5；
當(dāng)x＞2時，|x-2|+|x+3|=x-2+x+3=2x+1，此時最小值大于5；
所以|x-2|+|x+3|的最小值為5，取得最小值時x的取值范圍為-3≤x≤2；
（4）先求f（x）=|x-1|+|x+1|+|x-5|的值域：
當(dāng)x≥5時，f（x）=x-1+x+1+x-5=3x-5≥10，
當(dāng)1≤x＜5時，f（x）=x-1+x+1+5-x=x+5，此時值域?yàn)閇6，10），
當(dāng)-1≤x＜1時，f（x）=1-x+x+1+5-x=7-x，此時值域?yàn)椋?，8]，
當(dāng)x＜-1時，f（x）=1-x-x-1+5-x=5-3x＞8，此時值域?yàn)椋?，+∞），
所以f（x）的值域?yàn)椋篺（x）≥6．
即：|x-1|+|x+1|+|x-5|≥6，
因?yàn)閨x-1|+|x+1|+|x-5|=a無解，
所以a＜6．
故答案為：（1）相等；（2）|x+1|；（3）5；（4）a＜6．

點(diǎn)評：此題考查了數(shù)軸的有關(guān)知識，借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對值問題．這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問題時可以帶來方便．事實(shí)上，|A-B|表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)A與數(shù)B的點(diǎn)之間的距離．