Question

如圖，I是△ABC中∠ABC和∠ACB的角平分線的交點，若∠A=40°，試判斷I點與BC為直徑的⊙O的位置關系，并證明．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：常規(guī)題型

分析：根據角平分線的定義得∠IBC=

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2

∠ABC，∠ICB=

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2

∠ACB，則∠IBC+∠ICB=

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2

（∠ABC+∠ACB），再根據三角形內角和定理可計算出∠IBC+∠ICB=

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2

（180°-40°）=70°，∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=110°，由于∠BIC＞90°，根據直徑所對的圓周角為直角可判斷I點在以BC為直徑的⊙O內．

解答：解：I點在以BC為直徑的⊙O內．理由如下：
∵I是△ABC中∠ABC和∠ACB的角平分線的交點，
∴∠IBC=

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2

∠ABC，∠ICB=

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2

∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=

1

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（180°-40°）=70°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=110°，
∵∠BIC＞90°，
∴I點在以BC為直徑的⊙O內．

點評：本題考查了點與圓的位置關系：根據圓周角定理，利用點與圓的直徑兩端的連線段的夾角與90°的大小關系判斷點與圓的位置關系．