Question

【題目】如圖①，在銳角△ABC中，D，E分別為AB，BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于點(diǎn)M．

（1）求證：DM=DA；
（2）如圖②，點(diǎn)G在BE上，且∠BDG=∠C．求證：△DEG∽△ECF；
（3）在（2）的條件下，已知EF=2，CE=3，求GE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DM∥EF，

∴∠AMD=∠AFE，

∵∠AFE=∠A，

∴∠AMD=∠A，

∴DM=DA；

（2）證明：∵D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，

∴DE∥AC，

∴∠BDE=∠A，∠DEB=∠C，

∴∠BDE=∠AFE，

∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，

∵∠BDG=∠C，

∴∠GDE=∠FEC，又∠DEB=∠C，

∴△DEG∽△ECF；

（3）解：∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，

∴△BDG∽△BED，

∴ ，即BD2=BEBG，

∵DE∥AC，DM∥EF，

∴四邊形DEFM是平行四邊形，

∴EF=DM，

又∵DM=AD，AD=BD，

∴EF=BD=2，

∵BE=CE，EF=2，CE=3，

∴22=3BG，

∴BG= ，

∴GE=3﹣ = ．

【解析】（1）（1）根據(jù)DM∥EF得到∠AMD=∠AFE，等量代換得到∠AMD=∠A，根據(jù)等角對(duì)等邊證明即可。
（2）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到DE∥AC，證得∠BDE=∠AFE，再根據(jù)∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，證明∠GDE=∠FEC，根據(jù)相似三角形的判定定理證明。
（3）根據(jù)已知易證△BDG∽△BED，得到BD2=BEBG，再證明四邊形DEFM是平行四邊形，從而求出BD、BE的長(zhǎng)，即可求得BG的長(zhǎng)，繼而得出GE的長(zhǎng)。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)和三角形中位線(xiàn)定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握兩直線(xiàn)平行，同位角相等；兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)；三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半才能正確解答此題．