Question

如圖，圓M與y軸相切于點C，與x軸交于A（2-

3

，0 ）B（2+

3

，0）兩點，D是劣弧

AB

上一點，且弧

AD

=

1

2

BD

，點Q是圓M上一個動點，點N為OQ的中點，連接CN，當(dāng)點Q在圓M上運動時，CN的最大值為多少？

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：作ME⊥x軸于E，連接MC，根據(jù)垂徑定理，由ME⊥AB得AE=BE=，則OE=OA+AE=2，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到MC⊥y軸，所以四邊形MEOC為矩形，于是得到MC=OE=2，再連結(jié)OM，MQ，K點為OM的中點，連結(jié)NK，CK，先根據(jù)勾股定理計算出OM=

5

，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CK=

5

2

，易得NK為△OQM的中位線，則NK=

1

2

QM=1，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到，當(dāng)∠CKN=180°時，CN最大，此時CN=CK+NK=

5

2

+1．

解答：解：如圖1，作ME⊥x軸于E，連接MC，
∵A（2-

3

，0）、點B（2+

3

，0），
∴AB=2

3

，
∵ME⊥AB，
∴AE=BE=

3

，
∴OE=OA+AE=2-

3

+

3

=2，
∵⊙M與y軸相切于點C，
∴MC⊥y軸，
∴四邊形MEOC為矩形，
∴MC=OE=2，
即⊙M的半徑為2，
連結(jié)OM，MQ，K點為OM的中點，連結(jié)NK，CK，如圖2，
∵OC=1，MC=2，
∴OM=

12+22

=

5

，
∴CK=

5

2

，
∵N點為OQ的中點，
∴NK為△OQM的中位線，
∴NK=

1

2

QM=1，
∵點Q是⊙M上一個動點，
∴當(dāng)∠CKN=180°時，CN最大，此時CN=CK+NK=

5

2

+1，即CN的最大值為

5

2

+1．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和切線的性質(zhì)；會利用勾股定理計算線段的長；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；掌握三角形中位線定理和矩形的判定以及性質(zhì)，題目的綜合性較強，對學(xué)生的解題能力要求很高．