Question

如圖在△ABC中，D為AB中點(diǎn)，DC⊥AC，且∠BCD=30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專題：計(jì)算題

分析：過D作DE∥AC，交BC于點(diǎn)E，由平行線等分線段定理，根據(jù)D為AB中點(diǎn)，得到E為CB中點(diǎn)，可得出DE為三角形ABC中位線，利用中位線定理得到AC=2DE，由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等及垂直定義得到DE垂直與CD，在直角三角形CDE中，利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到CE=2DE，利用勾股定理表示出DC與AD，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．

解答：解：過D作DE∥AC，交BC于點(diǎn)E，
∵AD=BD，
∴CE=EB，即DE為△ABC的中位線，
∴AC=2DE，
∵DC⊥AC，DE∥AC，
∴DC⊥DE，即∠CDE=90°，
∵∠BCD=30°，
∴EC=2DE，DC=

3

DE，
設(shè)DE=k，則CD=

3

k，AC=2k，
在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：AD=

AC2+CD2

=

7

k，
則sin∠CDA=

AC

AD

=

2k

7 k

=

2 7

7

，cos∠CDA=

CD

AD

=

3 k

7 k

=

21

7

，tan∠CDA=

AC

CD

=

2k

3 k

=

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形，涉及的知識(shí)有：三角形中位線定理，平行線等分線段定理，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．