Question

在?ABCD中，BC=2AB，M為AD的中點(diǎn)，設(shè)∠ABC=α，過(guò)點(diǎn)C作直線AB的垂線，垂足為點(diǎn)E，連ME．
（1）如圖①，當(dāng)α=90°，ME與MC的數(shù)量關(guān)系是______；∠AEM與∠DME的關(guān)系是______；
（2）如圖②，當(dāng)60°＜α＜90°時(shí)，請(qǐng)問(wèn)：（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖③，當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出圖形，ME與MC的數(shù)量關(guān)系是______；∠AEM與∠DME的關(guān)系是______．（直接寫出結(jié)論即可，不必證明）

Answer 1

（1）ME=MC；∠DME-∠AEM=180°-α．

（2）成立．連CM，過(guò)M作MN⊥EC于N，
∵AB⊥CE，MN⊥CE，
∴AB∥MN，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，
∴MN是梯形AECD的中位線，
∴N是CE的中點(diǎn)，
∵CE⊥AB，
∴MN是△MEC的中線，
∴EM=CM（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等）；
在△AEM中，∠AEM+∠A=∠DME，
∵AD∥BC，∠ABC=α，
∴∠A=180°-α，
∴∠DME-∠AEM=∠A=180°-α．

（3）EM=MC，∠DME-∠AEM=∠EAM=∠B=α．
分析：（1）根據(jù)α=90°，?ABCD是矩形，又M為AD的中點(diǎn)，所以可以證明△ABM與△DCM是全等三角形，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得到ME=MC；根據(jù)三角形外角性質(zhì)，∠DME-∠AEB=∠A，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，∠A=180°-α；
（2）點(diǎn)E在線段AB上，過(guò)M作MN⊥EC于N，根據(jù)M為AD的中點(diǎn)，可得出MN是梯形AECD的中位線，故點(diǎn)N是EC的中點(diǎn)，從而MN是線段EC的垂直平分線，所以ME=MC；先根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠A的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得到兩角的關(guān)系．
（3）點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，根據(jù)（2）的證明求解方法，同理可解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)以及兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．