【題目】如圖,拋物線y= x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),且A(一1,0).
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)判斷△ABC的形狀,證明你的結(jié)論;
(3)點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△ACM周長(zhǎng)最小時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo)及△ACM的最小周長(zhǎng).
【答案】
(1)解:∵點(diǎn)A(﹣1,0)在拋物線y= x2+bx﹣2上,
∴ ×(﹣1 )2+b×(﹣1)﹣2=0,
解得:b=﹣ ,
∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣2.
y= (x﹣ )2﹣ ,
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為:( ,﹣ )
(2)解:當(dāng)x=0時(shí)y=﹣2,∴C(0,﹣2),OC=2.
當(dāng)y=0時(shí), x2﹣ x﹣2=0,
解得:x1=﹣1,x2=4,
∴B (4,0),
∴OA=1,OB=4,AB=5.
∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,
∴AC2+BC2=AB2.
∴△ABC是直角三角形
(3)解:如圖所示:連接AM,
點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)B,BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)M,根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知,
MC+MA的值最小,即△ACM周長(zhǎng)最小,
設(shè)直線BC解析式為:y=kx+d,則 ,
解得: ,
故直線BC的解析式為:y= x﹣2,
當(dāng)x= 時(shí),y=﹣ ,
∴M( ,﹣ ),
△ACM最小周長(zhǎng)是:AC+AM+MC=AC+BC= +2 =3 .
【解析】(1)直接將(﹣1,0),代入解析式進(jìn)而得出答案,再利用配方法求出函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)分別得出AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,進(jìn)而利用勾股定理的逆定理得出即可;(3)利用軸對(duì)稱最短路線求法得出M點(diǎn)位置,再求△ACM周長(zhǎng)最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】張師傅駕車從甲地去乙地,途中在加油站加了一次油,加油時(shí),車載電腦顯示還能行駛50千米.假設(shè)加油前、后汽車都以100千米/小時(shí)的速度勻速行駛,已知油箱中剩余油量y(升)與行駛時(shí)間t(小時(shí))之間的關(guān)系如圖所示.
(1)求張師傅加油前油箱剩余油量y(升)與行駛時(shí)間t(小時(shí))之間的關(guān)系式;
(2)求出a的值;
(3)求張師傅途中加油多少升?
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【題目】某工程隊(duì)修建一條長(zhǎng)1200 m的道路,采用新的施工方式,工效提升了50%,結(jié)果提前4天完成任務(wù).
(1)求這個(gè)工程隊(duì)原計(jì)劃每天修道路多少米?
(2)在這項(xiàng)工程中,如果要求工程隊(duì)提前2天完成任務(wù),那么實(shí)際平均每天修建道路的工效比原計(jì)劃增加百分之幾?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作等腰Rt△ABC,等腰Rt△ADE,其中∠BAC=∠DAE=90°,如圖1所示放置,使得一直角邊重合,連接BD、CE.
(1)試判斷BD、CE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)延長(zhǎng)BD交CE于點(diǎn)F試求∠BFC的度數(shù);
(3)把兩個(gè)等腰直角三角形按如圖2放置,(1)、(2)中的結(jié)論是否仍成立?請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖,C為以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn),AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直,垂足為點(diǎn)D.
(1)求證:AC平分∠BAD;
(2)若CD=3,AC=5,求⊙O的半徑長(zhǎng).
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【題目】如圖,AB∥CD,連接AD,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),連接BE并延長(zhǎng)交CD于F點(diǎn).
(1)請(qǐng)說明△ABE≌△DFE的理由;
(2)連接CB,AC,若CB⊥CD,AC=CD,∠D=30°,CD=2,求BF的長(zhǎng).
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A(﹣1,0)和B(5,0),交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)D是線段OB上一動(dòng)點(diǎn),連接CD,將CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE,過點(diǎn)E作直線l⊥x軸,垂足為H,過點(diǎn)C作CF⊥l于F,連接DF,CE交于點(diǎn)G.
(1)求拋物線解析式;
(2)求線段DF的長(zhǎng);
(3)當(dāng)DG= 時(shí),
①求tan∠CGD的值;
②試探究在x軸上方的拋物線上,是否存在點(diǎn)P,使∠EDP=45°?若存在,請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖,長(zhǎng)方形ABCD表示一塊草地,點(diǎn)E,F分別在邊AB、CD上,BF∥DE,四邊形EBFD是一條水泥小路,若AD=12米,AB=7米,且AE∶EB=5∶2,求草地的面積.
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【題目】五張如圖所示的長(zhǎng)為,寬為的小長(zhǎng)方形紙片,按如圖的方式不重疊地放在矩形中,未被覆蓋的部分(兩個(gè)矩形)用陰影表示.設(shè)左上角與右下角的陰影部分的面積的差為,當(dāng)的長(zhǎng)度變化時(shí),按照同樣的放置方式,始終保持不變,則,滿足的關(guān)系式為( )
A.B.C.D.
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