【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A(﹣1,0)和B(5,0),交y軸于點C,點D是線段OB上一動點,連接CD,將CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE,過點E作直線l⊥x軸,垂足為H,過點C作CF⊥l于F,連接DF,CE交于點G.

(1)求拋物線解析式;
(2)求線段DF的長;
(3)當DG= 時,
①求tan∠CGD的值;
②試探究在x軸上方的拋物線上,是否存在點P,使∠EDP=45°?若存在,請寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:∵拋物線y=ax2+bx+3交x軸于A(﹣1,0)和B(5,0),

,解得 ,∴拋物線解析式為:y=﹣ x2+ x+3


(2)解:當x=0時,y=﹣ x2+ x+3=3,則C(0,3),如圖1,

∵CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE,

∴CD=DE,∠CDE=90°,

∵∠2+∠3=90°,

而∠1+∠2=90°,

∴∠1=∠3,

在△OCD和△HDE中

,

∴△OCD≌△HDE,

∴HD=OC=3,

∵CF⊥BF,

∴四邊形OCFH為矩形,

∴HF=OC=3,

∴DF= =3


(3)解:①∵△CDE和△DFH都是等腰直角三角形,如圖1,

∴∠DCE=45°,∠DFH=45°,

∴∠DFC=45°,

而∠CDG=∠FDC,

∴△DCG∽△DFC,

,∠DGC=∠DCF,即 ,解得CD=

∵CF∥OH,

∴∠DCF=∠2,

∴∠CGD=∠2,

在Rt△OCD中,OD= = =1,

∴tan∠2= =3,

∴tan∠CGD=3;

②∵OD=1,

∴D(1,0),

∵△OCD≌△HDE,

∴HD=OC=3,EH=OD=1,

∴E(4,1),

取CE的中點M,如圖2,則M(2,2),

∵△DCE為等腰直角三角形,∠EDP=45°,

∴DP經(jīng)過CE的中點M,

設直線DP的解析式為y=mx+n,

把D(1,0),M(2,2)代入得 ,解得 ,

∴直線DP的解析式為y=2x﹣2,

解方程組 (舍去),

∴②P點坐標為( ,


【解析】(1)已知A(﹣1,0)和B(5,0)由待定系數(shù)法易得函數(shù)解析式為y=﹣ x2+ x+3;
(2)由題易得C(0,3)已知CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE可得△CDE是等腰直角三角形,加上互余關系可得△OCD≌△HDE,從而HD=OC=3,

又因為CF⊥BF,所以四邊形OCFH為矩形,HF=OC=3,從而利用勾股定理的線段DF的長。
(3)①由△CDE和△DFH都是等腰直角三角形可得△DCG∽△DFC,從而得到CD= ,利用勾股定理可得OD=1,因此 tan∠2= =3,再利用平行線性質(zhì)易得 ∠CGD=∠2所以tan∠CGD= tan∠2=3
②由△OCD≌△HDE可得HD=OC=3,EH=OD=1,從而E(4,1),取CE的中點M由△DCE為等腰直角三角形,∠EDP=45°,可得DP經(jīng)過CE的中點M,這樣我們可得直線DP的解析式為y=2x﹣2,與二次函數(shù)解析式連列方程組可得交點坐標,即P的坐標。

【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關知識點,需要掌握二次函數(shù)圖像關鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】數(shù)學課上,李老師出示了如下框中的題目.

在等邊三角形ABC中,點E在AB上,點D在CB的延長線上,且ED=EC,如圖.試確定線段AE與DB的大小關系,并說明理由.

小敏與同桌小聰討論后,進行了如下解答:

(1)特殊情況,探索結(jié)論

當點E為AB的中點時,如圖1,確定線段AE與的DB大小關系.請你直接寫出結(jié)論:

AE DB(填“>”,“<”或“=”).

圖1 2

(2)特例啟發(fā),解答題目

解:題目中,AE與DB的大小關系是:AE DB(填“>”,“<”或“=”).

理由如下:如圖2,過點E作EFBC,交AC于點F.

(請你完成以下解答過程)

(3)拓展結(jié)論,設計新題

在等邊三角形ABC中,點E在直線AB上,點D在直線BC上,且ED=EC.若ABC的邊長為1,AE=2,求CD的長(請你直接寫出結(jié)果).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為了了解南通市80萬市民“獲取新聞的最主要途徑”,某市記者開展了一次調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖.

    

根據(jù)以上信息解答下列問題:

1)這次調(diào)查適合采用_____________的調(diào)查方式(填“全面調(diào)查”或“抽樣調(diào)查”);

2)這次調(diào)查樣本容量是____________

3)扇形統(tǒng)計圖中,“電視”所對應的圓心角的度數(shù)是____________;

4)條形統(tǒng)計圖中“報紙”對應的人數(shù)是____________

5)南通市約有80萬人,請估計其中將“電腦和手機上網(wǎng)”作為“獲取新聞的最主要途徑”的總?cè)藬?shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線y= x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,且A(一1,0).

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;
(2)判斷△ABC的形狀,證明你的結(jié)論;
(3)點M是拋物線對稱軸上的一個動點,當△ACM周長最小時,求點M的坐標及△ACM的最小周長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD△ABC的角平分線,DEAB于點E.

(1)如圖1,連接EC,求證:△EBC是等邊三角形;

(2)M是線段CD上的一點(不與點C,D重合),以BM為一邊,在BM的下方作∠BMG=60°MGDE延長線于點G.求證:AD=DG+MD;

(3)N是線段AD上的一點,以BN為一邊,在BN的下方作∠BNG=60°NGDE延長線于點G.請在圖3中畫出圖形,并直接寫出ND,DGAD數(shù)量之間的關系.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知某電腦公司有A型、B型、C型三種型號的電腦,其價格分別為A型每臺6 000元,B型每臺4 000元,C型每臺2 500元,我市東坡中學計劃將100 500元錢全部用于該電腦公司購進其中兩種不同型號的電腦共36臺,請你設計出幾種不同的購買方案供該校選擇,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,正方形ABDE、CDFI、EFGH的面積分別為25、9、16,△AEH、△BDC、△GFI的面積分別為S1、S2、S3,則S1+S2+S3=_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某公司欲招聘一名公關人員,對甲、乙兩位候選人進行了面試和筆試,他們的成績?nèi)缦卤硭荆?/span>

如果公司認為,作為公關人員面試的成績應該比筆試的成績更重要,并分別賦予它們64的權.則(  )

A. 甲的平均成績高于乙的平均成績

B. 乙的平均成績高于甲的平均成績

C. 甲與乙的平均成績相同

D. 無法確定誰的成績更高

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】有一滿池水,池底有泉水總能均勻地向外漏流,已知用24部A型抽水機,6天可抽干池水;若用21部A型抽水機8天也可抽干池水.設每部抽水機單位時間的抽水量相同,要使這一池水永遠抽不干,則至多只能用多少部A型抽水機抽水.(  )

A. 13

B. 12

C. 11

D. 10

查看答案和解析>>

同步練習冊答案