Question

已知：四邊形ABCD的面積為1．如圖1，取四邊形ABCD各邊中點，則圖中陰影部分的面積為

 

；如圖2，取四邊形ABCD各邊三等分點，則圖中陰影部分的面積為

 

；…；取四邊形ABCD各邊的n（n為大于1的整數）等分點，則圖中陰影部分的面積為

 

．

Answer 1

考點：中點四邊形,三角形的面積

專題：

分析：如圖，連接AC、BD．通過相似三角形的判定與性質可以求得圖中空白部分的面積，則根據圖形易求陰影部分的面積．

解答：解：如圖1，連接AC、BD．
∵點A₁、D₁是邊AB、AD的中點，
∴A₁D₁是△ABD的中位線，
∴A₁D₁∥BD，A₁D₁=

1

2

BD，
∴△AA₁D₁∽△ABD，
∴

S△AA1D1

S△ABD

=(

A1D1

BD

)2=

1

4

，
∴S△AA1D1=

1

4

S_△ABD．
同理，S △CB1C1=

1

4

S_△BCD，S△BA1B1=

1

4

S_△ABC，S△DD1C1=

1

4

S_△ACD，
∴S_陰影=S_{四邊形ABCD}-（S△AA1D1+S △CB1C1+S△BA1B1+S△DD1C1）=1-

1

4

（S_△ABD+S_△BCD+S_△ABC+S_△ACD）=1-

2

4

S_{四邊形ABCD}=

1

2

S_{四邊形ABCD}．
如圖2，同理可得S_陰影=1-

1

9

（S_△ABD+S_△BCD+S_△ABC+S_△ACD）=1-

2

9

S_{四邊形ABCD}=

7

9

S_{四邊形ABCD}．
當取四邊形ABCD各邊的n（n為大于1的整數）等分點，則
S_陰影=1-

1

9

（S_△ABD+S_△BCD+S_△ABC+S_△ACD）=1-

2

n2

S_{四邊形ABCD}=1-

2

n2

S．
故答案是：

1

2

，

7

9

，1-

2

n2

．

點評：本題考查了中點四邊形，三角形的面積．利用三角形中位線定理求得空白部分的三角形的面積與四邊形ABCD的面積間的數量關系是解題的難點．