Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，E是AC的中點，ED的延長線與CB的延長線交于點F．
（1）求證：FD²=FB•FC；
（2）如果AC=6，BC=4，S_△FBD=2，求S_△FDC．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明∠DCB=∠BDF，這是解決該題的關(guān)鍵結(jié)論；再由∠F=∠F，得到△BDF∽△DCF，即可解決問題．
（2）證明△BDC∽△BCA，得到BD：CD=BC：AC=2：3；由△BDF∽△DCF，得到

S△FBD

S△FDC

=(

BD

CD

)2=

4

9

，根據(jù)S_△FBD=2，求得S_△FDC=4.5．

解答：解：（1）如圖，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ABC=∠DCB+∠ABC，
∴∠A=∠DCB；
∵E是AC的中點，
∴ED=EA，∠A=∠EDA；
而∠BDF=∠EDA，
∴∠A=∠EDA，∠DCB=∠BDF，
而∠F=∠F，
∴△BDF∽△DCF，
∴FD：CF=BF：FD，
∴FD²=FB•FC．
（2）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BDC=∠ACB，而∠A=∠DCB，
∴△BDC∽△BCA，
∴BD：CD=BC：AC
=4：6=2：3；
∵△BDF∽△DCF，
∴

S△FBD

S△FDC

=(

BD

CD

)2=

4

9

，而S_△FBD=2，
∴S_△FDC=4.5．

點評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；同時還滲透了對直角三角形的性質(zhì)等幾何知識的考查；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．