Question

【題目】將線段OB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OC，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜120°）得到線段OD，連接CD．

（1）如圖，連接BD，則∠BDC的大小=_____（度）；

（2）將線段OB放在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣6，0），以OB為斜邊作Rt△OBE，使∠OBE=∠OCD，且點(diǎn)E在第三象限，若∠CED=90°，則α的大小=_____（度），點(diǎn)D的坐標(biāo)為_____．

Answer 1

【答案】 30 90 （3，﹣3）

【解析】分析：（1）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OB=OC=OD，再由圓周角定理即可得出結(jié)論；

（2）如圖2，過點(diǎn)O作OM⊥CD于點(diǎn)M，連接EM，先根據(jù)AAS定理得出△OEB≌△OMC，故可得出OE=OM，∠BOE=∠COM，所以△OEM是等邊三角形．根據(jù)OC=OD，OM⊥CD可知CM=DM．故可得出點(diǎn)O、C、D在以M為圓心，MC為半徑的圓上．由圓周角定理可得α的大小，再根據(jù)三角函數(shù)得出結(jié)論．

詳解：（1）∵線段OC，OD由OB旋轉(zhuǎn)而成，

∴OB=OC=OD．

∴點(diǎn)B、C、D在以O為圓心，AB為半徑的圓上．

∴∠BDC=∠BOC=30°．

（2）如圖2，過點(diǎn)O作OM⊥CD于點(diǎn)M，連接EM，過點(diǎn)D作BF⊥BO的延長線于點(diǎn)F．

∵∠OMD=90°，

∴∠OMC=90°．

在△OEB與△OMC中，

，

∴△OEB≌△OMC．

∴OE=OM，∠BOE=∠COM．

∴∠EOM=∠EOC+∠COM=∠EOC+∠BOE=∠BOC=60°．

∴△OEM是等邊三角形．

∴EM=OM=OE．

∵OC=OD，OM⊥CD，

∴CM=DM．

又∵∠DEC=90°，

∴EM=CM=DM．

∴OM=CM=DM．

∴點(diǎn)O、C、D、E在以M為圓心，MC為半徑的圓上．

∴α=∠COD=90°，

∴∠FOD=30°，

∴OF=3，DF=3，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，-3）．