【題目】已知四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形,直徑AC與對角線BD相交于點(diǎn)E,作CH⊥BD于H,CH與過A點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)F,∠FAD=∠ABD.
(1)求證:AF為⊙O的切線;
(2)若BD平分∠ABC,求證:DA=DC;
(3)在(2)的條件下,N為AF的中點(diǎn),連接EN,若∠AED+∠AEN=135°,⊙O的半徑為2,求EN的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)NE=
【解析】
(1)欲證明AF為⊙O的切線,只需推知CA⊥AF;
(2)如圖2,連接OD.理由圓周角定理和等量代換推知:∠DOA=∠DOC,則DA=DC.
(3)如圖3,連接OD交CF于M,作EP⊥AD于P.構(gòu)造全等三角形:△ODE≌△OCM,則OE=OM,設(shè)OM=m,所以AE=2﹣m,AP=PE=2﹣m,DP=2+m;由△EAN∽△DPE的對應(yīng)邊成比例推知:=,所以=,求出m=,得到AN=,AE=,結(jié)合勾股定理得NE=.
(1)證明:如圖1,∵AC為⊙O的直徑,
∴∠ADC=90°,
∴∠DAC+∠DCA=90°.
∵,
∴∠ABD=∠DCA,
∵∠FAD=∠ABD,
∴∠FAD=∠DCA,
∴∠FAD+∠DCA=90°,
∴CA⊥AF,
∴AF為⊙O的切線.
(2)證明:如圖2,連接OD,
∵,
∴∠ABD=∠AOD,
∵,
∴∠DBC=∠DOC,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠DOA=∠DOC,
∴DA=DC.
(3)如圖3,連接OD交CF于M,作EP⊥AD于P,
∵AC為⊙O的直徑,
∴∠ADC=90°.
∵DA=DC,
∴DO⊥AC,
∴∠FAC=∠DOC=90°,
∴AF∥OM,
∵AO=OC,
∴OM=AF.
∵∠ODE+∠DEO=90°,∠OCM+∠DEO=90°.
∴∠ODE=∠OCM.
∵∠DOE=∠COM,OD=OC,
∴∴△ODE≌△OCM,
∴OE=OM,
設(shè)OM=m,
∴AE=2﹣m,AP=PE=2﹣m,DP=2+m,
∵∠AED+∠AEN=135°,∠AED+∠ADE=135°,
∴∠AEN=∠ADE,
∵∠EAN=∠DPE,
∴△EAN∽△DPE,
∴=,
∴=,
∴m=,
∴AN=,AE=,
∴勾股定理得NE=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】超速行駛被稱為“馬路第一殺手”,為了讓駕駛員自覺遵守交通規(guī)則,市公路檢測中在一事故多發(fā)地段安裝了一個(gè)測速儀器,如圖所示,已知檢測點(diǎn)A設(shè)在距離公路BC20米處,∠B=45°,∠C=30°,現(xiàn)測得一輛汽車從B處行駛到C處所用時(shí)間為2.7秒.
(1)求B,C之間的距離(結(jié)果保留根號(hào));
(2)如果此地限速為80km/h,那么這輛汽車是否超速?請說明理由.(參考數(shù)據(jù):1.7,≈1.4)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(閱讀材料)某校九年級(jí)數(shù)學(xué)課外興趣探究小組在學(xué)習(xí)完《第二十八章銳角三角函數(shù)》后,利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行深度探究,得到以下正確的等量關(guān)系式:
,
,
,,
(理解應(yīng)用)請你利用以上信息求下列各式的值:(1);(2)
(拓展應(yīng)用)(3)為了求出海島上的山峰的高度,在處和處樹立標(biāo)桿和,標(biāo)桿的高都是3丈,兩處相隔1000步(1步等于6尺),并且和在同一平面內(nèi),在標(biāo)桿的頂端處測得山峰頂端的仰角75°,在標(biāo)桿的頂端處測得山峰頂端的仰角30°,山峰的高度即的長是多少步?(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù):)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤、每個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成如圖所示的幾個(gè)扇形、游戲者同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,如果一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色,另一轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色,游戲者就配成了紫色下列說法正確的是( 。
A. 兩個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出藍(lán)色的概率一樣大
B. 如果A轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色,那么B轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出藍(lán)色的可能性變小了
C. 先轉(zhuǎn)動(dòng)A 轉(zhuǎn)盤再轉(zhuǎn)動(dòng)B 轉(zhuǎn)盤和同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,游戲者配成紫色的概率不同
D. 游戲者配成紫色的概率為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,對稱軸為x=1的拋物線經(jīng)過A(﹣1,0),B(2,﹣3)兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),連接PO交直線AB于點(diǎn)Q,當(dāng)Q是OP中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)C在直線AB上,D在拋物線上,E在坐標(biāo)平面內(nèi),以B,C,D,E為頂點(diǎn)的四邊形為正方形,直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以的邊上一點(diǎn)為圓心的圓,經(jīng)過、兩點(diǎn),且與邊交于點(diǎn),為的下半圓弧的中點(diǎn),連接交于,若.
(1)求證:是的切線;
(2)若,,求的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】按如下方法,將△ABC的三邊縮小到原來的,如圖,任取一點(diǎn)O,連結(jié)AO,BO,CO,并取它們的中點(diǎn)D、E、F,得△DEF;則下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.點(diǎn)O為位似中心且位似比為1:2
B.△ABC與△DEF是位似圖形
C.△ABC與△DEF是相似圖形
D.△ABC與△DEF的面積之比為4:1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,己知點(diǎn),點(diǎn)在軸上,并且,動(dòng)點(diǎn)在過三點(diǎn)的拋物線上.
(1)求拋物線的解析式.
(2)作垂直軸的直線,在第一象限交直線于點(diǎn),交拋物線于點(diǎn),求當(dāng)線段的長有最大值時(shí)的坐標(biāo).并求出最大值是多少.
(3)在軸上是否存在點(diǎn),使得△是等腰三角形?若存在,請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(10分)在Rt△ABC中,∠BAC=,D是BC的中點(diǎn),E是AD的中點(diǎn).過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:△AEF≌△DEB;
(2)證明四邊形ADCF是菱形;
(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCFD 的面積.
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