【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點,直線l是拋物線的對稱軸.

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;

(2)設(shè)點P是直線l上的一個動點,當(dāng)PAC的周長最小時,求點P的坐標(biāo);

(3)在直線l上是否存在點M,使MAC為等腰三角形?若存在,直接寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】解:(1)A(-1,0)、B(3,0)經(jīng)過拋物線y=ax2+bx+c,

可設(shè)拋物線為y=a(x+1)(x-3)。

C(0,3) 經(jīng)過拋物線,代入,得3=a(0+1)(0-3),即a=-1。

拋物線的解析式為y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3。

(2)連接BC,直線BC與直線l的交點為P。 則此時的點P,使PAC的周長最小。

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

將B(3,0),C(0,3)代入,得:

,解得:

直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+3。

當(dāng)x-1時,y=2,即P的坐標(biāo)(1,2)。

(3)存在。點M的坐標(biāo)為(1,),(1,-),(1,1),(1,0)。

解析二次函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法,曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,線段中垂線的性質(zhì),三角形三邊關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì)。

(1)可設(shè)交點式,用待定系數(shù)法求出待定系數(shù)即可。

(2)由圖知:A、B點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,那么根據(jù)拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知:若連接BC,那么BC與直線l的交點即為符合條件的P點。

(3)由于MAC的腰和底沒有明確,因此要分三種情況來討論:MA=AC、MA=MC、AC=MC;可先設(shè)出M點的坐標(biāo),然后用M點縱坐標(biāo)表示MAC的三邊長,再按上面的三種情況列式求解:

拋物線的對稱軸為: x=1,設(shè)M(1,m)。

A(-1,0)、C(0,3),MA2=m2+4,MC2=m26m+10,AC2=10。

若MA=MC,則MA2=MC2,得:m2+4=m26m+10,得:m=1。

若MA=AC,則MA2=AC2,得:m2+4=10,得:m=±。

若MC=AC,則MC2=AC2,得:m26m+10=10,得:m=0,m=6,

當(dāng)m=6時,M、A、C三點共線,構(gòu)不成三角形,不合題意,故舍去。

綜上可知,符合條件的M點,且坐標(biāo)為(1,),(1,-),(1,1),(1,0)。

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腳長(厘米)

23

235

24

245

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36

37

38

39

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方差

3

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