Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（2，0），C（0，-2），直線(xiàn)x=m（m＞2）與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在直線(xiàn)x=m（m＞2）上有一點(diǎn)E（點(diǎn)E在第四象限），使得E、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以A、O、C為頂點(diǎn)的三角形相似，求E點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）成立的條件下，拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)F，使得四邊形ABEF為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點(diǎn)A（1，0），B（2，0），C（0，-2）代入二次函數(shù)y=ax²+bx+c中，列方程組求a、b、c即可；
（2）因?yàn)镈、O分別為兩個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)，可分為△EDB∽△AOC，△BDE∽△AOC兩種情況，利用相似比求ED，確定E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）假設(shè)拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)F，使得四邊形ABEF為平行四邊形，EF=AB=1，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m-1，分為①當(dāng)點(diǎn)E₁的坐標(biāo)為（m，）時(shí)，點(diǎn)F₁的坐標(biāo)為（m-1，），②當(dāng)點(diǎn)E₂的坐標(biāo)為（m，4-2m）時(shí)，點(diǎn)F₂的坐標(biāo)為（m-1，4-2m），兩種情況，分別代入拋物線(xiàn)解析式求m的值，確定F點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）將點(diǎn)A（1，0），B（2，0），C（0，-2）代入二次函數(shù)y=ax²+bx+c中，得
解得a=-1，b=3，c=-2．
∴y=-x²+3x-2．（2分）

（2）∵AO=1，CO=2，BD=m-2，
當(dāng)△EDB∽△AOC時(shí)，得=，
即=，解得ED=，
∵點(diǎn)E在第四象限，
∴E₁（m，），
當(dāng)△BDE∽△AOC時(shí)，=時(shí)，即=，
解得ED=2m-4，
∵點(diǎn)E在第四象限，
∴E₂（m，4-2m）；

（3）假設(shè)拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)F，使得四邊形ABEF為平行四邊形，則
EF=AB=1，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m-1，
當(dāng)點(diǎn)E₁的坐標(biāo)為（m，）時(shí)，點(diǎn)F₁的坐標(biāo)為（m-1，），
∵點(diǎn)F₁在拋物線(xiàn)的圖象上，
∴=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴2m²-11m+14=0，
∴（2m-7）（m-2）=0，
∴m=，m=2（舍去），
∴F₁（，-），
當(dāng)點(diǎn)E₂的坐標(biāo)為（m，4-2m）時(shí)，點(diǎn)F₂的坐標(biāo)為（m-1，4-2m），
∵點(diǎn)F₂在拋物線(xiàn)的圖象上，
∴4-2m=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴m²-7m+10=0，
∴（m-2）（m-5）=0，∴m=2（舍去），m=5，
∴F₂（4，-6）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是求二次函數(shù)解析式，利用相似三角形，平行四邊形的性質(zhì)，列方程求解．