【題目】如圖1,四邊形ABCD,將頂點(diǎn)為A的角繞著頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),若角的一條邊與DC的延長線交于點(diǎn)F,角的另一條邊與CB的延長線交于點(diǎn)E,連接EF

●特例發(fā)現(xiàn) 若四邊形ABCD為正方形,當(dāng)∠EAF=45°時(shí),則EF、DF、BE滿足數(shù)量關(guān)系為 ;

●深入探究 如圖2,如果在四邊形ABCD中,ABAD,∠ABC=∠ADC=90°,當(dāng)∠EAFBAD時(shí),則EF、DF、BE滿足數(shù)量關(guān)系為 ;

如圖3,如果四邊形ABCD中,ABAD,∠ABC與∠ADC互補(bǔ),當(dāng)∠EAFBAD 時(shí),EFDF、BE之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變?請給出詳細(xì)的證明過程;

●拓展應(yīng)用 在(3)中,若BC=4,DC=7,CF=2,求△CEF的周長.

【答案】●特例發(fā)現(xiàn), EF=DF-BE;●深入探究 ,EF=DF-BE;EF=DF-BE,證明見解析;●拓展應(yīng)用△CEF的周長為15.

【解析】試題分析:特例發(fā)現(xiàn)”與” “深入探究解題思路一致,都是通過兩步全等來實(shí)現(xiàn);在DC上截取DG=BE,第一步,首先證△ADG≌△ABE,得AE=AG;第二步,證△AGF≌△AEF,得EF=GF,由此得到DF、EF、BE的數(shù)量關(guān)系.

根據(jù)前三問的結(jié)論知:EF=DF-BE,那么△CEF的周長可轉(zhuǎn)化為CEEFFCCE+(DFBE)+FCBCDC+2FC,從而得解.

試題解析:●特例發(fā)現(xiàn) EFDFBE;

●深入探究 EF=DFBE,

如圖4,在DC上截取DG,使DG=BE,連接AG

∵∠D+∠ABC=180°,∠ABC+∠ABE=180°,

∴∠ABE=∠D

又∵ABAD,DG=BE

∴△ABE≌△ADG(SAS).

∴∠BAE=∠DAG,AEAG

又∵∠DAGBAFBAEBAFEAFBAD,

∴∠GAFBAD-(DAGBAF)=BAD,

∴∠GAF=∠EAF

AEAG (前面已證),AFAF,

∴△AFE≌△AFG(SAS),

EFGF

EFGFDFDGDFBE

●拓展應(yīng)用

CEF的周長:CEEFFCCE+(DFBE)+FC

=(CEBE)+DFFC

=(CEBE)+(DCFC)+FC

BCDC+2FC

=4+7+2×2

=15.

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