Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD，將頂點(diǎn)為A的角繞著頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若角的一條邊與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，角的另一條邊與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接EF．

●特例發(fā)現(xiàn) 若四邊形ABCD為正方形，當(dāng)∠EAF＝45°時(shí)，則EF、DF、BE滿足數(shù)量關(guān)系為 ；

●深入探究 如圖2，如果在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，當(dāng)∠EAF＝∠BAD時(shí)，則EF、DF、BE滿足數(shù)量關(guān)系為 ；

如圖3，如果四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，當(dāng)∠EAF＝∠BAD 時(shí)，EF與DF、BE之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？請(qǐng)給出詳細(xì)的證明過(guò)程；

●拓展應(yīng)用 在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】●特例發(fā)現(xiàn)， EF＝DF－BE；●深入探究 ，EF=DF－BE；EF＝DF－BE，證明見(jiàn)解析；●拓展應(yīng)用△CEF的周長(zhǎng)為15．

【解析】試題分析：“特例發(fā)現(xiàn)”與” “深入探究”解題思路一致，都是通過(guò)兩步全等來(lái)實(shí)現(xiàn)；在DC上截取DG=BE，第一步，首先證△ADG≌△ABE，得AE=AG；第二步，證△AGF≌△AEF，得EF=GF，由此得到DF、EF、BE的數(shù)量關(guān)系．

根據(jù)前三問(wèn)的結(jié)論知：EF=DF-BE，那么△CEF的周長(zhǎng)可轉(zhuǎn)化為：CE＋EF＋FC＝CE＋（DF－BE）＋FC ＝BC＋DC＋2FC，從而得解．

試題解析：●特例發(fā)現(xiàn) EF＝DF－BE；

●深入探究 EF=DF－BE，

如圖4，在DC上截取DG，使DG=BE，連接AG．

∵∠D+∠ABC＝180°,∠ABC+∠ABE＝180°，

∴∠ABE＝∠D．

又∵AB＝AD，DG=BE，

∴△ABE≌△ADG（SAS）．

∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG．

又∵∠DAG＋∠BAF＝∠BAE＋∠BAF＝∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠BAD－（∠DAG＋∠BAF）＝∠BAD，

∴∠GAF=∠EAF．

∵AE＝AG （前面已證），AF＝AF，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF＝GF．

∴EF＝GF＝DF－DG＝DF－BE．

●拓展應(yīng)用

△CEF的周長(zhǎng)：CE＋EF＋FC＝CE＋（DF－BE）＋FC

＝（CE－BE）＋DF＋FC

＝（CE－BE）＋（DC＋FC）＋FC

＝BC＋DC＋2FC

＝4＋7＋2×2

＝15．