Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²-2x-1的圖象的頂點(diǎn)為A，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于原點(diǎn)O及另一點(diǎn)C．它的頂點(diǎn)B在函數(shù)y=x²-2x-1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸上．
（1）求點(diǎn)A與點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，求函數(shù)y=ax²+bx+c的解析式，并判斷這個(gè)四邊形AOBC能否通過(guò)一個(gè)直徑為1.8的圓孔．

Answer 1

分析：（1）將二次函數(shù)y=x²-2x-1化為頂點(diǎn)式，就可以求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性就可以求出OF=CF，從而求出C的坐標(biāo)．
（2）通過(guò)第一問(wèn)可以求出A、O、B、C的坐標(biāo)，從而可以求得四邊形AOBC是菱形，而短的對(duì)角線長(zhǎng)為2＞1.8，從判斷可以通過(guò)一個(gè)直徑為1.8的圓孔．

解答：解：（1）∵y=x²-2x-1，
∴y=（x-1）²-2，
∴A（1，-2），
∵y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)B在函數(shù)y=x²-2x-1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸上，
如圖得：∴OF=1根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性得，
FC=1，
∴CO=2，
∴C（2，0）；

（2）∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)
∴B（1，2），
∴

c=0 0=4a+2b+c 2=a+b+c

，解得

a=-2 b=4 c=0

，
∴拋物線的解析式為：y=-2x²+4x，
∵OC⊥AB，OF=CF，BF=AF，
∴四邊形AOBC是菱形，
∵CO=2＞1.8，
∴這個(gè)四邊形AOBC能通過(guò)一個(gè)直徑為1.8的圓孔．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了拋物線的頂點(diǎn)式，拋物線圖象的對(duì)稱(chēng)性，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)．