Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x+8分別交x軸，y軸于點A，B，點M為線段AB的中點，點C在線段OA上，且OC是方程

3-x

x

=

x

x+2

的一個根．
（1）求點C的坐標；
（2）求直線CM的解析式；
（3）在直線CM上是否存在這樣的點P，使得以A，C，P為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）解分式方程求出x的值，從而得到OC的長度，然后寫出點C的坐標即可；
（2）根據直線解析式求出點A、B的坐標，然后求出點M的坐標，再利用待定系數法求一次函數解析式解答即可；
（3）過點M作MN⊥x軸于N，求出CN、MN，再利用勾股定理列式求出CM，分①CP=AC時，過點P作PD⊥x軸，然后求出CD、PD，再分兩種情況求出OD，然后寫出點P的坐標即可；②AP=CP時，根據等腰三角形三線合一的性質求出點P的橫坐標，與縱坐標的長度，然后寫出即可；③AC=AP時，過點A作AE⊥CM于E，利用∠ACM的余弦求出CE的長，從而得到CP的長度，然后解直角三角形求出點P的坐標即可．

解答：解：（1）方程兩邊都乘以x（x+2）去分母得，x²=（x+2）（3-x），
整理得2x²-x-6=0，
解得x₁=2，x₂=-

3

2

，
所以OC=2，
點C的坐標為（2，0）；

（2）令x=0，則y=8，
令y=0，則-x+8=0，解得x=8，
∴點A（8，0），B（0，8），
∵點M為線段AB的中點，
∴點M（4，4），
設直線CM的解析式為y=kx+b，
則

2k+b=0 4k+b=4

，
解得

k=2 b=-4

，
∴直線CM的解析式為y=2x-4；

（3）過點M作MN⊥x軸于N，則CN=4-2=2，MN=4，
由勾股定理得，CM=

22+42

=2

5

，
∵A（8，0），C（2，0），
∴AC=8-2=6，
①CP=AC時，過點P作PD⊥x軸，
CD=6×

2

2 5

=

6 5

5

，
PD=6×

4

2 5

=

12 5

5

，
點P在點C的左邊時，OD=CD-OC=

6 5

5

-2，
點P₁（2-

6 5

5

，

12 5

5

），
點P在點C的右邊時，OD=CD+OC=

6 5

5

+2，
點P₂（

6 5

5

+2，

12 5

5

）；
②AP=CP時，點P的橫坐標為OC+

1

2

AC=2+

1

2

×6=5，
x=5時，y=2×5-4=6，
點P₃（5，6）；
③AC=AP時，過點A作AE⊥CM于E，
CE=AC•cos∠ACM=6×

2

2 5

=

6 5

5

，
∴OP=2CE=

12 5

5

，
點P的橫坐標為2+

12 5

5

×

2 5

5

=

34

5

，
點P的縱坐標為

12 5

5

×

4 5

5

=

48

5

，
點P₄（

34

5

，

48

5

），
綜上所述，存在點P（2-

6 5

5

，

12 5

5

）或（

6 5

5

+2，

12 5

5

）或（5，6）或（

34

5

，

48

5

），使得以A，C，P為頂點的三角形為等腰三角形．

點評：本題是一次函數綜合題型，主要利用了解分式方程，待定系數法求一次函數解析式，等腰三角形的性質，難點在于（3）根據腰長的不同分情況討論．