Question

已知∠MON，OA平分∠MON．
（1）在圖1中，若∠MON=120°，∠ABO=∠ACO=90°，求證：OB+OC=OA；
（2）在圖2中，若∠MON=120°，∠ABO+∠ACO=180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）在圖3中，若∠MON=120°，∠ABC=60°，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）由OA為∠MON的平分線，利用角平分線定理得到AB=AC，且得到∠AOM=∠AON=60°，在直角三角形AOB與AOC中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半得到OB=OC=

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2

OA，即可得到OB+OC=OA；
（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，即OB+OC=OA，理由為：過A作AD⊥OM，AE⊥ON，利用角平分線定理得到AD=AE，同理得到OD+OE=OA，再利用同角的補角相等得到一對角相等，根據(jù)一對直角相等，且AD=AE，利用AAS得到三角形ABD與三角形ACE全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到BD=EC，等量代換即可得證；
（3）三角形ABC為等邊三角形，理由為：在OM上取點D，使OD=OA，在AD上取點E，使OB=EA，根據(jù)∠AOD=60°，得到三角形AOD為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到OD=DA，∠OAD=∠ODA=60°，根據(jù)OB=AE，得到三角形BED為等邊三角形，利用等式的性質(zhì)得到∠EAB=∠OBC，再由∠AEB=∠BOC，且OB=AE，利用ASA得到三角形ABE與三角形BOC全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AB=BC，再∠ABC=60°，即可得到三角形ABC為等邊三角形．

解答：解：（1）∵∠MON=120°，OA平分∠MON，AB⊥OM，AC⊥ON，
∴∠AOM=∠AON=60°，AB=AC，
在Rt△AOB和Rt△AOC中，∠CAO=∠BAO=30°，
∴OB=OC=

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OA，
則OB+OC=OA；

（2）過A作AD⊥OM，AE⊥ON，
∵OA平分∠MON，∠MON=120°，
∴AD=AE，∠AOM=∠AON=60°，
在Rt△AOD和Rt△AOE中，∠DAO=∠EAO=30°，
∴OD=OE=

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2

OA，
∴OD+OE=OA，
∵∠ABD+∠ABO=180°，∠ABO+∠ACO=180°，
∴∠ABD=∠ACO，
在△ABD和△ACE中，

∠ADB=∠AEC=90° ∠ABD=∠ACE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=CE，
則OB+OC=OB+OE+EC=OB+OE+BD=OD+OE=OA；

（3）在OM上取點D，使OD=OA，在AD上取點E，使OB=EA，
∵OA平分∠MON，∠MON=120°，
∴∠MOA=60°，
∴△AOD為正三角形，
∴OD=DA，∠OAD=∠ODA=60°，
∵OB=AE，
∴AD-AE=OD-OB，即DB=DE，
∴△BDE為等邊三角形，
∴∠DEB=∠DBE=60°，
∴∠AEB=∠BOC=120°，
∵∠ABC=60°，
∴∠EAB+∠EBA=60°，∠EBA+∠OBC=60°，
∴∠EAB=∠OBC，
在△AEB和△BOC中，

∠AEB=∠BOC OB=EA ∠EAB=∠OBC

，
∴△AEB≌△BOC（ASA），
∴AB=BC，
則△ABC為正三角形．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．