【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對(duì)它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．
【小試牛刀】把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為a、b、c．顯然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．請(qǐng)用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：
S
梯形ABCD=
，
S
△EBC=
，
S
四邊形AECD=
，
則它們滿足的關(guān)系式為
，經(jīng)化簡，可得到勾股定理．
【知識(shí)運(yùn)用】（1）如圖2，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，C、D為兩個(gè)村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25千米，BC=16千米，則兩個(gè)村莊的距離為
千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一個(gè)供應(yīng)站P，使得PC=PD，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖2中作出P點(diǎn)的位置并求出AP的距離．
【知識(shí)遷移】借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式
+
的最小值（0＜x＜16）
如圖，ABCD是一個(gè)長方形盒子的正面，小明想知道AB邊與CD邊是否垂直于BC邊，他利用隨身帶的卷尺量得AB=5cm，BC=12cm，A、C兩點(diǎn)的距離是13cm．由此，小明判斷出AB邊垂直于BC邊．你知道這是為什么嗎？