【題目】如圖,△ABC 是邊長為 6 cm 的等邊三角形,P 從點 A 岀發(fā)沿 AC 邊向 C 運動, 與此同時 Q 從 B 出發(fā)以相同的速度沿 CB 延長線方向運動.當(dāng) P 到達 C 點時,P、Q 停止運動, 連接 PQ 交 AB 于 D
(1)設(shè) P、Q 的運動速度為 1 cm/s,當(dāng)運動時間為多少時,∠BQD=30°?
(2)過 P 作 PE⊥AB 于 E,在運動過程中線段 ED 的長是否發(fā)生變化?如果不變,求出線段 ED的長;如果變化請說明理由
【答案】(1) 運動時間為2s;(2) ED 的長不會發(fā)生變化,DE=3.
【解析】
(1) 根據(jù)三角形內(nèi)角和為180, 可知△PQC為直角三角形, 根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求出AP的長后可得時間.
(2) 根據(jù)全等三角形的角角邊判定定理可得,Rt△ABE≌Rt△BQF,再由全等三角形對應(yīng)邊相等可知:AE=BF,EP=QF, 因為EP//QF, 可知四邊形EPFQ是平行四邊形, 根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可得: DE=EF.EB+AE=BE+BF=AB,DE=AB., 由于△ABC是不變的, AB是定長, 即可證明當(dāng)點P、 Q運動時, 線段DE的長度不會改變.
解:(1)△ABC是邊長為6的等邊三角形,∠ACB=60.
∠BQD=30,∠QPC=90.
設(shè)AP=x,則PC=6-x,QB=x,
QC=QB+BC=6+x,PC=AC-AP=6-x,
在Rt△QCP中, ∠BQD=30,
PC=QC,即6-x= (6+x),
解得x=2,
又 P、Q 的運動速度為 1 cm/s,
運動的時間為2s;
(2) 當(dāng)點P、 Q運動時, 線段ED的長度不會改變.理由如下:作QF⊥AB, 交直線AB的延長線于點F,連接QE,PF.
PE⊥AB于E,∠DFQ=∠AEP=90.
點P、Q做勻速運動且速度相同,AP=BQ.
△ABC是等邊三角形,
∠A=∠ABC=∠FBQ=60.
在△APE和△BQF中,
∠A=∠FBQ,AP=BQ,∠AEP=∠BFQ=90,
△APE≌△BQF (AAS).
AE=BF,PE=QF且PE∥QF.
四邊形PEQF是平行四邊形。
DE=EF.
EB+AE=BE+BF=AB,
DE=AB.
又等邊△ABC的邊長為6, DE=3.
當(dāng)點P、Q運動時, 線段ED的長度不會改變.
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【題目】閱讀下列材料:
在學(xué)習(xí)“分式方程及其解法”過程中,老師提出一個問題:若關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù),求a的取值范圍?
經(jīng)過小組交流討論后,同學(xué)們逐漸形成了兩種意見:
小明說:解這個關(guān)于x的分式方程,得到方程的解為x=a﹣2.由題意可得a﹣2>0,所以a>2,問題解決.
小強說:你考慮的不全面.還必須保證a≠3才行.
老師說:小強所說完全正確.
請回答:小明考慮問題不全面,主要體現(xiàn)在哪里?請你簡要說明: .
完成下列問題:
(1)已知關(guān)于x的方程=1的解為負數(shù),求m的取值范圍;
(2)若關(guān)于x的分式方程=﹣1無解.直接寫出n的取值范圍.
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【題目】如圖,△ABC和△DEF的各頂點分別在雙曲線y= ,y= ,y= 在第一象限的圖象上,若∠C=∠F=90°,AC∥DF∥x軸,BC∥EF∥y軸,則S△ABC﹣S△DEF=( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖,從①∠1=∠2;②∠C=∠D;③∠A=∠F三個條件中選出兩個作為已知條件,另一個作為結(jié)論所組成的命題中,正確命題的個數(shù)為( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【題目】直角三角形紙片 ABC 中,∠ACB=90°,AC≤BC.如圖,將紙片沿某條直線折疊,使點 A 落在直角邊 BC 上,記落點為 D.設(shè)折痕與 AB、AC 邊分別交于點 E、點 F,當(dāng)折疊后的△CDF 與△BDE 均為等腰三角形,那么紙片中∠B 的度數(shù)是_____
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【題目】如圖所示,直線AB,CD相交于點O,OE⊥CD于點O,OD平分∠BOF,∠BOE=50°,求∠AOC、∠EOF與∠AOF的度數(shù).
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【題目】新農(nóng)村建設(shè)前,某鄉(xiāng)在一條筆直的公路旁依次有A、B、D、E、F五個村莊(每相鄰兩個村莊之間有農(nóng)田).后來由于新農(nóng)村建設(shè)需要,在該公路旁新建了C莊,已知C莊在A莊和F莊之間,B莊是A莊和C莊的中點,E莊是C莊和F莊的中點,D莊是B莊和E莊的中點.
(1)按題意畫出大致示意圖;
(2)若A莊和C莊相距4千米,C莊和F莊相距12千米,求C莊和D莊之間的距離;
(3)若A莊和F莊之間的距離是C莊和D莊之間距離的8倍,求A莊和C莊之間的距離與C莊和F莊之間的距離的比值是多少?
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【題目】如圖,直線AB,CD相交于點O,OE⊥AB于O,若∠BOD=40°,則不正確的結(jié)論是( )
A.∠AOC=40° B.∠COE=130° C.∠EOD=40° D.∠BOE=90°
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