Question

如圖，射線(xiàn)PG平分∠EPF，O為射線(xiàn)PG上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，10為半徑作⊙O，分別與∠EPF的兩邊相交于A(yíng)、B和C、D，連接OA，此時(shí)有OA∥PE．
（1）求證：AP=AO；
（2）若tan∠OPB=

1

2

，求弦AB的長(zhǎng)；
（3）若以圖中已標(biāo)明的點(diǎn)（即P、A、B、C、D、O）構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個(gè)點(diǎn)為

 

，能構(gòu)成等腰梯形的四個(gè)點(diǎn)為

 

或

 

或

 

．

Answer 1

分析：（1）由已知條件“射線(xiàn)PG平分∠EPF”求得∠DPO=∠BPO；然后根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，兩直線(xiàn)OA∥PE，內(nèi)錯(cuò)角∠DPO=∠POA；最后由等量代換知∠BPO=∠POA，從而根據(jù)等角對(duì)等邊證明AP=AO；
（2）設(shè)OH=x，則PH=2x．作輔助線(xiàn)OH（“過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H”），根據(jù)垂徑定理知AH=HB=

1

2

AB；又由已知條件“tan∠OPB=

1

2

”求得PH=2OH；然后利用（1）的結(jié)果及勾股定理列出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)、等腰梯形的判定定理填空．

解答：（1）證明：∵PG平分∠EPF，
∴∠DPO=∠BPO，
∵OA∥PE，
∴∠DPO=∠POA，
∴∠BPO=∠POA，
∴PA=OA；（2分）

（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，則AH=HB=

1

2

AB，（1分）
∵tan∠OPB=

OH

PH

=

1

2

，∴PH=2OH，（1分）
設(shè)OH=x，則PH=2x，
由（1）可知PA=OA=10，∴AH=PH-PA=2x-10，
∵AH²+OH²=OA²，∴（2x-10）²+x²=10²，（1分）
解得x₁=0（不合題意，舍去），x₂=8，
∴AH=6，∴AB=2AH=12；（1分）

（3）解：P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B．（2分）
（寫(xiě)對(duì)1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)得（1分），寫(xiě)對(duì)4個(gè)得2分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了垂徑定理、勾股定理、菱形的性質(zhì)、等腰梯形的判定定理及銳角三角函數(shù)的定義．解此類(lèi)題目要注意將圓的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形的問(wèn)題再進(jìn)行計(jì)算．