Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的三個(gè)頂點(diǎn)、、.拋物線的解析式為.

（1）如圖一，若拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo) ；拋物線的對(duì)稱軸為直線 ；

（2）如圖二：若拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，

①求拋物線的表達(dá)式.

②若點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)交拋物線于點(diǎn).當(dāng)線段最長(zhǎng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若，且拋物線與矩形沒有公共點(diǎn)，直接寫出的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（4,8）；x=6；（2）①；②（6,4）；（3）或

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，即可求出拋物線的對(duì)稱軸；

（2）①將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式中，即可求出拋物線的表達(dá)式；

②先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，然后設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，根據(jù)坐標(biāo)特征求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，即可求出EG的長(zhǎng)，利用二次函數(shù)求最值即可；

（3）畫出圖象可知：當(dāng)x=4時(shí)，若拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于點(diǎn)B的下方或當(dāng)x=8時(shí)，拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于D點(diǎn)上方時(shí)，拋物線與矩形沒有公共點(diǎn)，將x=4和x=8分別代入解析式中，列出不等式，即可求出b的取值范圍．

解：（1）∵矩形的三個(gè)頂點(diǎn)、、

∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相同

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（4,8）

∵點(diǎn)A與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相同，且A、D都在拋物線上

∴點(diǎn)A和點(diǎn)D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱

∴拋物線的對(duì)稱軸為：直線．

故答案為：（4,8）；x=6；

（2）①將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得

解得：

故拋物線的表達(dá)式為；

②設(shè)直線AC的解析式為y=kx＋c

將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得

解得：

∴直線AC的解析式為

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，

∵EG⊥AD，AD∥x軸

∴點(diǎn)E和點(diǎn)G的橫坐標(biāo)相等

∵點(diǎn)G在拋物線上

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為

∴EG=

=

=

∵

∴當(dāng)時(shí)，EG有最大值，且最大值為2，

將代入E點(diǎn)坐標(biāo)，可得，點(diǎn)E坐標(biāo)為（6,4）．

（3）當(dāng)時(shí)，拋物線的解析式為

如下圖所示，當(dāng)x=4時(shí)，若拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于點(diǎn)B的下方或當(dāng)x=8時(shí)，拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于D點(diǎn)上方時(shí)，拋物線與矩形沒有公共點(diǎn)，

故或

解得：或．