Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D是⊙O上的點(diǎn)，且OD∥BC，AC分別與BD、OD相交于點(diǎn)E、F．

（1）求證：點(diǎn)D為的中點(diǎn)；

（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的長(zhǎng)；

（3）若⊙O的半徑為5，∠DOA＝80°，點(diǎn)P是線段AB上任意一點(diǎn)，試求出PC+PD的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）DF=2；（3）5

【解析】

（1）利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，再證明OF⊥AC，然后根據(jù)垂徑定理得到點(diǎn)D為的中點(diǎn)；

（2）證明OF為△ACB的中位線得到OF＝BC＝3，然后計(jì)算OD﹣OF即可；

（3）作C點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，C′D交AB于P，連接OC，如圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)PC+PD的值最小，再計(jì)算出∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如圖，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出DH，從而得到PC+PD的最小值．

（1）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵OD∥BC，

∴∠OFA＝90°，

∴OF⊥AC，

∴＝，

即點(diǎn)D為的中點(diǎn)；

（2）解：∵OF⊥AC，

∴AF＝CF，

而OA＝OB，

∴OF為△ACB的中位線，

∴OF＝BC＝3，

∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；

（3）解：作C點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，C′D交AB于P，連接OC，如圖，

∵PC＝PC′，

∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，

∴此時(shí)PC+PD的值最小，

∵＝，

∴∠COD＝∠AOD＝80°，

∴∠BOC＝20°，

∵點(diǎn)C和點(diǎn)C′關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)，

∴∠C′OB＝20°，

∴∠DOC′＝120°，

作OH⊥DC′于H，如圖，

則∠ODH＝30°，

則C′H＝DH，

在Rt△OHD中，OH＝OD＝，

∴DH＝OH＝，

∴DC′＝2DH＝5，

∴PC+PD的最小值為5．